Перенос примесей

Турбулентная диффузия. Аналогичным образом можно изучить задачу о переносе турбулентным вихрем пассивной примеси, т. е. примеси, которая не оказывает влияния на его движение. Турбулентное перемешивание жидкости сопровождается переносом примесей в молярных (макроскопических) объемах. Этот процесс в случае свободной турбулентности (в отсутствии границ) можно описать введением специального коэффициента турбулентной диффузии D*, величина которого, как и величина коэффициента турбулентной вязкости v*, определяется характерными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Из опытов с турбулентными струями известно [5], что коэффициент турбулентной диффузии с точностью до множителя порядка единицы совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости:

Уравнение, описывающее распределение примеси, концентрацию которой мы обозначим через С, имеет вид:

где D — молекулярный коэффициент диффузии (см. [5]).

Ясно, что на начальном участке движения вихря молекулярным коэффициентом диффузии D можно пренебречь по сравнению с турбулентным. Скорость V известна, если известно движение вихря.

Для уравнения (2) необходимо, вообще говоря, задать начальные условия, которые сводятся к заданию начального распределения концентрации, зависящего от способа заполнения вихря примесями. Эксперимент, однако, показывает, что так же, как и распределение завихренности, распределение концентрации примесей очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий. При этом избыточные по отношению к предельному распределению количества примесей быстро теряются, а после этого потери примесей практически отсутствуют.

Автомодельная задача. Естественно предположить, что предельное распределение концентрации примесей является автомодельным [7]. Поставим следующую задачу (ограничиваясь плоским случаем). Пусть в момент времени t = О концентрация С равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечно велика, так что

а согласно (1) коэффициент турбулентной диффузии

так как по предположению примесь не оказывает влияния на движение жидкости.

В силу линейности уравнения (2) и нормировки (3) ясно, что С пропорциональна No, и из анализа размерностей следует, что функции (4) и (5) имеют вид

Подставляя это в (2), получаем уравнение для с:

и удовлетворяющие условию нормировки

которое следует из закона сохранения полного количества примеси.

Решение поставленной задачи позволит определить предельное распределение концентрации примеси в вихре. Если, например, в момент образования весь объем вихря равномерно заполнен дымом, то через некоторое время в результате турбулентного перемешивания лишний дым будет потерян. Опыт и приближенные оценки показывают, что избыточное по сравнению с предельным количество примеси убывает с расстоянием по экспоненте, т. е. очень быстро.

Дымовые кольца. Проведенный анализ позволяет объяснить интересное явление, связанное с дымовыми

кольцами, которые выпускают изо рта искусные курильщики. Такие кольца хорошо моделируются в наполненном дымом ящике с круглым отверстием, о котором говорилось в § 35. Кольца из этого ящика, не разрушаясь, проходят расстояния порядка 150—200 диаметров. Можно соорудить пистолет, стреляющий дымовыми кольцами — вылетающие из него кольца колышат довольно плотную портьеру на расстоянии 5—6 метров от места выстрела.

Мы знаем, что вместе с вихрем в воздухе движется тело вращения, близкое к сплюснутому эллипсоиду, но в описанных опытах четко видны именно кольца из дыма, за которыми остается дымовой след (рис. 126).

Дело в том, что вследствие турбулентной диффузии частицы дыма у границ движущегося тела быстро отходят от него (они и образуют след). Видимой является только область высокой концентрации частиц дыма, которая  представляет  собой  кольцо  (тор). Такое распределение концентрации дыма описывается осесим-метрическим вариантом автомодельной задачи из предыдущего пункта.

Поразительная устойчивость дымовых колец, о которой говорилось выше, по-видимому, и объясняется тем, что они представляют собой часть движущегося эллипсоида вращения — одной из наиболее часто встречающихся в природе устойчивых форм.

Заметим, что точно такие же кольца можно наблюдать в воде, если вытолкнуть в нее поршнем некоторый объем жидкости, подкрашенный чернилами. Очень хорошо видно густо окрашенное чернильное кольцо, которое движется вместе с некоторым, окрашенным слабее, объемом жидкости, имеющим эллипсоидальную форму. Ограниченные размеры экспериментальной установки не позволяют, однако, проследить весь путь вихря до его остановки — вихрь наталкивается на стенку и разрушается.