Уравнения Гельмгольца

Будем рассматривать в вязкой жидкости одновременно осесимметричные кольцевые вихри и соответствующий плоский аналог. В силу сделанных предположений система уравнений, описывающая такие движения, имеет вид:

—функция тока).

Предположение о коэффициенте турбулентной вязкости заведомо неверно на больших расстояниях от кольцевого вихря, так как там этот коэффициент должен обращаться в нуль. Однако из уравнений Гельмгольца (7) видно, что члены с вязкостью существенны только там, где завихренность заметно отличается от нуля. Поскольку в кольцевом вихре завихренность очень быстро уменьшается с удалением от него, можно ожидать, что сделанное предположение не будет давать существенной ошибки. Аналогичная ситуация имеет место в теории турбулентных струй, дающей хорошее соответствие с экспериментом.

Система (7) обладает важным законом сохранения. Умножая первое уравнение на г2 при k = 1 или на г при k = О и интегрируя по всему пространству, в предположении, что Й и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности, получим:

Этот результат есть частный случай общего утверждения о том, что в безграничной вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, величина

не зависит от времени (доказательство дано в работе [6]). Величину Р естественно назвать импульсом вихря, а постоянство этой величины есть не что иное, как закон сохранения импульса.

Автомодельная задача

Для полученной системы уравнений необходимо, вообще говоря, задать начальное условие — начальное распределение завихренности, определяемое способом образования кольцевого вихря. Однако, как уже отмечалось раньше, распределение завихренности очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий, которое в дальнейшем линейно зависит от расстояния. Естественно поэтому предположить, что предельное распределение завихренности описывается автомодельным решением системы Гельмгольца (4).

Поставим следующую задачу, которую снова будем рассматривать и в осесимметричном и в плоском вариантах. Пусть в момент времени t = 0 завихренность Q равна нулю всюду в безграничном пространстве, за исключением начала координат, где в осесимметричном случае расположен кольцевой вихрь бесконечно малого радиуса и бесконечной большой интенсивности так, что

В плоском варианте будем считать, что в начале координат имеется вихревой диполь: пара вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга так, что

Легко видеть, что Ро и ро— это импульсы кольцевого вихря в начальный момент соответственно для осесим-метричного и плоского вариантов.

— в плоском.

имеют такой вид:

а турбулентная вязкость в соответствии с (6) — вид

Анализ размерностей позволяет уточнить вид этих функций, именно

—постоянная. Таким образом, сформулированная задача оказывается автомодельной.

В плоском случае точно так же можно заключить, что искомые функции имеют следующий вид:

Ограничимся далее плоским случаем (k = 0); здесь получается следующая система уравнений с частными производными:

стремящиеся к нулю на бесконечности и удовлетворяющие условию нормировки

должны быть нечетными функциями от у:

входящая в первое уравнение (16), остается неопределенной — ее величина должна определяться сравнением с экспериментом.

Равенства (19) определяют закон движения вихря. Из них сразу следует, что

•. Мы получаем, что радиус вихря ли-

Но и эта задача оказалась сложной.

Модельная задача. Следуя Б. А.Луговцову [7], рассмотрим модельную задачу, в которой (16) заменяется похожей системой уравнений

Сделаем замену переменных, полагая

Тогда из первого уравнения (21) мы получим для 8 уравнение

должна быть нечетной.

Эта задача хорошо изучена — в квантовой механике ей соответствует задача о гармоническом осцилляторе (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1]). Решения уравнений (22), удовлетворяющие нашим дополнительным условиям, существуют только при

Отсюда следует, что либо т = 0, п=, либо т = 1, п = О, а условие нечетности по г) оставляет только одну возможность т = 0, п = 1. Соответствующее решение

откуда

где А—произвольная постоянная, определяемая нормировкой (17).

Во втором уравнении (21) теперь правая часть известна, и оно становится уравнением Пуассона, решение которого, обращающееся в нуль на бесконечности, определяется формулой

(см., например, В. С. Владимиров [2]).

и найти окончательное решение модельной задачи:

в точной задаче,

что очень важно для возможности применения численных методов.

Сравнение с экпериментом. Закон движения вихря (19) дает хорошее согласие с экспериментом. Удобно преобразовать формулы (19) так, чтобы в них входили экспериментально измеряемые величины — начальный радиус Ro и начальная скорость U0. В качестве начала отсчета удобно выбирать не момент выхода вихря из отверстия, а более поздний момент, когда вихрь от отверстия отойдет на некоторое расстояние (че-тыре-пять диаметров отверстия),— это объясняется тем, что на вырабатывание автомодельного распределения завихренности в вихре необходимо некоторое время. Если время t и расстояние L(t), проходимое вихрем, отсчитывать от этой точки, то вместо (19) получим

На рис. 125 кружками отмечены экспериментальные точки, соответствующие движению вихря, начальные параметры которого равны R0 — 10 см, U0 = 4,3 м/сек, а величина а = 6- Ю-3. Сплошная кривая получена по формуле (26). Отклонение расчетной кривой от экспериментальных точек при больших t объясняется тем, что турбулентная вязкость со временем уменьшается и, начиная с некоторого момента, делается сравнимой с кинем этической, после чего пренебрежение кинематической вязкостью становится неправомерным. После того как кинематическая вязкость становится существенной, вихрь быстро останавливается.