Шары Бьёркнесов

Пусть в безграничной жидкости, которую мы по-прежнему предполагаем несжимаемой

(с плотностью 1) и невесомой, пульсируют два воздушных или газовых пузыря. Еще в прошлом веке отец и сын Бьёркнесы обнаружили и объяснили интересное явление, связанное с этим экспериментом — оказывается, что если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, то они притягиваются друг к другу, а если в противофазе, то отталкиваются.

, расположенными соответственно в точках х = О и х = —а оси х, причем е = 1, если пузыри пульсируют в одинаковой фазе, и е = —1, если они пульсируют в противофазе. Чтобы учесть возможность перемещения центров пузырей, будем еще считать, что в тех же точках помещены диполи. Так как пузыри равноправны, достаточно изучить движение одного из них, скажем, того, который пульсирует в окрестности начала. Радиусы пузырей мы будем считать малыми в сравнении с а.

Если пренебречь влиянием диполя, расположенного в точке х = — о, то в точке М, близкой к началу координат, потенциал поля скоростей запишется в виде

. Поэтому (9) можно приближенно переписать в виде

или, если отбросить несущественное постоянное (при фиксированном t) слагаемое, в виде

,  а поступательная скорость

(она определяется третьим слагаемым;

знак плюс объясняется тем, что речь идет о скорости пузыря, а не жидкости).

Воспользуемся теперь тем, что в силу нашего предположения о невесомости суммарное давление на пузырь должно быть равным нулю. По интегралу Коши давление в точке, близкой к началу,

При интегрировании по граничной сфере пузыря члены, не зависящие от Э или пропорциональные sin2 0 и cos2 8, сокращаются вследствие симметрии, поэтому ненулевой вклад в суммарное давление могут дать лишь члены

Условие обращения в нуль суммарного давления приводит, следовательно, к равенству

справедливому в любой момент времени t.

, то мы

заключаем, что приращение U(t) за период пульсирования отрицательно при е > 0 и положительно при е < 0. Это и объясняет явление Бьёркнесов.

Отметим еще один вариант этого же явления. Как известно, влияние на источник твердой стенки в точности эквивалентно влиянию на него другого источника той же интенсивности, расположенного зеркально симметрично с первым источником относительно стенки.

Точно так же действие на источник свободной поверхности можно заменить действием симметричного источника, интенсивность которого противоположна по знаку интенсивности первого источника. Поэтому приведенный выше анализ объясняет еще и следующий экспериментально наблюдаемый факт: газовый пузырь, пульсирующий в воде вблизи от твердой стенки, притягивается к стенке, а пузырек, который пульсирует вблизи свободной поверхности, отталкивается от нее. Переходим к новым задачам.