Устойчивость

Следует различать неустойчивость, связанную с двумя видами особенностей границы — локальными и глобальными. Локальные особенности возникают при появлении у St волнообразной формы такой, что длина волн мала по сравнению с размерами Dt.

При увеличении t эти мелкие волны могут привести к образованию на St острых углов, складок и других особенностей. Но с точки зрения приложений, в которых обычно интересуются движением основной массы жидкости, такие локальные особенности большой роли не играют (так, например, мелкая рябь на воде практически не влияет па движение длинных волн). При подсчетах следует заменить плохую поверхность St близкой к ней хорошей и продолжать процесс.

Иначе обстоит дело с глобальными особенностями, которые образуются, когда в процессе движения две точки поверхности St, находящиеся на конечном расстоянии, приближаются друг к другу с последующим гидравлическим ударом одной части жидкости о другую (рис. 100). Особенности такого типа связаны с природой явления и подлежат особому анализу. Во многих вопросах такие глобальные особенности играют фундаментальную роль.

Подводный взрыв

С явлениями, происходящими при подводных взрывах, связан очень широкий круг задач, в которых участвуют неустановившиеся движения. Мы начинаем с рассмотрения двух вполне классических задач.

Охлопывание пузыря. Одним из первых вопросов, возникающих при изучении взрыва под водой, является вопрос о том, как изменяется с течением времени образовавшийся при взрыве газовый пузырь, который заполнен продуктами детонации ВВ.

В простейшей приближенной постановке задачу можно сформулировать так. Пусть сферический газовый пузырь переменного радиуса R = R(t) находится в безграничной несжимаемой жидкости с плотностью 1 и постоянным давлением P0. Силой тяжести, вязкостью, а также поверхностным натяжением и конденсацией газов в пузыре мы пренебрегаем. Требуется найти закон изменения радиуса R(t).

Сравнивая расходы на границе пузыря и концентрической с ней сфере радиуса r, мы найдем

где Ф = Ф(t)— некоторая функция времени. Это соотношение позволяет вычислить кинетическую энергию всей массы жидкости в момент t;

(знак минус объясняется тем, что у нас R < 0), откуда интегрированием находим

Сравнивая это выражение с (2), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

а его интегрирование приводит к соотношению

из которого можно найти искомую зависимость R = R(t)

. Это отражает тот факт, что в момент исчезания пузыря происходит гидравлический удар — мы имеем пример глобальной особенности, о которой говорилось выше. Описанный эффект называется охлопыванием пузыря.

Полагая в (5) R = 0, мы находим время схлопывания:

Можно еще рассматривать пульсирующий пузырь, который после схлопывания расширяется до начальной величины. Последняя формула позволяет определить период колебаний такого пузыря:

Отметим, что в точной постановке задачи о движении газового пузыря, образовавшегося при подводном взрыве, следует учитывать влияние поверхности воды и силы тяжести, а давление в пузыре считать меняющимся по закону:

— постоянные. Массой газа внутри пузыря и силами поверхностного натяжения можно пренебречь. В этой постановке в начальный момент поверхность воды можно считать плоской, а границу газового пузыря — сферой; дальнейшее изменение формы этих поверхностей находится из решения задачи.

Решение задачи о движении газового пузыря в такой точной постановке для начального этапа получил недавно Л. В. Овсянников [2]. О дальнейших этапах движения мы будем говорить ниже при обсуждении проблемы султана.