Волна стокса

В настоящее время методы теории функций и функционального анализа позволили решить почти все вопросы, связанные с существованием и единственностью волн в тяжелой жидкости. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться, например, по сборникам [9] и [10]. Остановимся на одном из оставшихся нерешенными вопросов — доказательстве существования так называемой предельной волны Стокса, которая имеет острия на гребнях.

Даже проведенное выше приближенное исследование, в котором было принято условие малости амплитуды, показало, что при увеличении амплитуды волны ее горб становится круче. Если же отказаться от этого условия, то естественно ожидать, что увеличение амплитуды до некоторого критического значения приведет к появлению на гребнях волны острых углов. Это явление было предсказано еще Стоксом, и оно хорошо подтверждается экспериментами.

равен а (рис. 54), тогда в окрест-

ности точки х = 0 уравнение волновой поверхности должно иметь вид

комплексный потенциал течения

  где

Теперь подставим в (5) выражения (16) и (17) и получим соотношение

Читатель, без сомнения, не раз видел волны с такими углами в 120° на гребнях (см. рис. 54).

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки z0, — этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала:

(т. е. 20 не есть критическая точка течения).

, до сих пор остается открытым. Получены доказательства существования (гладких) волн с наклонами, близкими к критическому, но критическое значение еще не достигнуто и, таким образом, существование волны Стокса не доказано.