Учет нелинейности

В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экспериментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каждый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значительной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум.

Более точную теорию (которая, в частности, включает и эти явления) мы получим, если при той же гипотезе малости амплитуды воспользуемся приближенной формулой для растяжения при конформном отображении узких полос:

.

и тогда

оно примет вид

— положительные постоянные, определяемые

физическими параметрами задачи. Заметим, что в качестве таких физических параметров естественно принять так называемую среднюю глубину водоема

и расход h,

будут такие корни, и рассмотрим для уравнения (13) начальную задачу

т. е.

период возрастает неограниченно — мы получаем кривую с единственным максимумом в точке х = О, т. е. уединенную волну (рис. 53).

Пользуясь вариационными методами теории конформных отображений, можно доказать, что в окрестности построенного только что описанным методом приближенного решения существует единственное точное решение, причем ширина этой окрестности мала по

сравнению с амплитудой приближенного решения (см. М. А. Лаврентьев [2]).