Меню сайта

Предыдущая     |         Содержание     |    следующая

Проблемы гидромеханники

Модель Кирхгофа и другие модели

Классические модели. Модель Кирхгофа была одной из первых попыток избежать парадоксов бесконечных скоростей и нулевого лобового сопротивления в схеме идеальной жидкости. Рассмотрим задачу об обтекании

Такое отображение выписывается элементарно:

=.

обращается в бесконечность на краях пластинки, а воздействие потока на пластинку равно нулю.

заранее не задаются,

а находятся из того условия, что на них давление — а по интегралу Бернулли, значит, и скорость — сохраняет постоянное значение.

Эта задача также просто решается. Пусть w = = f(2), f(0) = 0, —комплексный потенциал течения; он конформно отображает область течения на плоскость с разрезом по положительной полуоси с соответствием точек, указанным на рис. 56 и 57, а. Пусть b ~> 0 — точка, в которую попадают концы отрезка 3 и 3— это параметр задачи, характеризующий ширину пластинки.

являются сопряженными гармоническими как от переменной г, так и от w = f(z), ибо f — конформное отображение,

На границе образа области течения в плоскости w, т. е. на разрезе вдоль полуоси и > 0, мы знаем одну из этих функций: из физических соображений очевидно, что

Мы пришли к так называемой смешанной граничной задаче теории гармонических функций: на части границы заданы значения искомой функции, а на остальной части границы — значения сопряженной с ней функции.

В нашем случае заданные значения постоянны и задача решается в элементарных функциях. Очевидно, что ее решение дает конформное отображение плоскости с разрезом рис. 57, а на полуполосу рис. 57, б с указанным на этом рисунке соответствием точек. Такое отображение получается в несколько шагов из стандартных отображений и мы получаем

), оказывается равным (постоянному) давлению с правой стороны. Таким образом, давление потока на пластинку слева больше, чем справа, — мы получаем эффект лобового сопротивления. (Пользуясь формулой (2) и формулой Чаплыгина (3) из § 18, можно подсчитать величину лобового сопротивления, но МЫ не будем этого делать.)

Таким образом, в схеме Кирхгофа удается избежать обоих отмеченных выше парадоксов. Поэтому понятно, что математики пытались решить в этой схеме задачу обтекания со срывом струй для возможно более широкого класса контуров. Прежде всего описанный выше метод был распространен на случай, когда контур состоит из конечного числа отрезков (см. Л. И. Седов [5]). Вариационный метод и метод интегральных уравнений позволили решить эту задачу также для широкого круга гладких дуг (см. М. А. Лаврентьев [2] и Биркгоф и Сарантонелло [4]).

Однако модель Кирхгофа имеет несколько существенных дефектов даже в простейшем случае обтекания плоской пластинки. Например, застойная зона, которая в действительности имеет конечные размеры, в схеме Кирхгофа бесконечна и для ее создания в этой схеме требуется бесконечно большая энергия.

Новые модели. В силу этого за последние 20—30 лет появилось много новых моделей, трактующих ту же задачу. Опишем сначала более старую модель, которая была предложена Р я б у-шинским еще в начале этого столетия. Наряду с основной обтекаемой пластинкой I (рис. 58) он вводит еще равную ей по ширине фиктивную пластинку II и располагает вторую пластинку за первой на расстоянии Я от нее. Линии тока у и у (струи) должны быть определены так, чтобы на них давление, а значит, и скорость, были постоянными. В этой схеме задача решается до конца и в том случае, когда обтекаемый контур представляет собой ломаную с прямолинейными звеньями. Теорему существования и единственности и приближенное решение задачи можно получить вариационным методом, а также методом интегральных уравнений.

вдоль оси симметрии (рис. 59). Предпо-

лагается, что вдоль этой струи скорость постоянна и, кроме того, что скорости всюду в потоке меняются непрерывно. Эта модель дает хорошо согласующееся с опытом распределение давления на пластинке; наличие обратной струйки также наблюдается экспериментально. Дефектом модели является физически невозможное предположение о том, что обратная струя отсасывается пластинкой и после прохождения пластинки течет по уже занятому течением пространству, не смешиваясь со старым течением.

и

, Расчет по этой схеме делается методами, о которых говорилось выше.