Сжимаемость

При движениях жидкости с большими скоростями, сравнимыми со скоростью распространения звука в этой жидкости, становится существенной ее сжимаемость. Плотность жидкости р уже не является постоянной и ее следует считать одной из искомых функций. Задача существенно усложняется, появляются принципиально новые явления, отсутствующие в случае несжимаемости.

Основные уравнения. Условие несжимаемости div V = 0 заменяется теперь более общим уравнением

уравнение движения пишется по-старому:

и появляется новое, термодинамическое уравнение

Последнее уравнение выражает условие отсутствия теплообмена между частицами среды: энтропия 5 каждой частицы постоянна, т. е. полная производная энтропии

j равна 0.

Это соотношение является следствием общих законов термодинамики, а конкретный вид зависимости определяется свойствами среды. Например, для среды, называемой идеальным газом, эта зависимость имеет вид

  (отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме) называется показателем адиабаты Пуассона.

Упрощающие предположения

Одним из таких предположений является условие изэнтропичности — движение таково, что во всем объеме, занятом средой, энтропия S = const. Для изэнтропических движений уравнение (3) выполняется автоматически, а из (4) следует, что давление зависит только от плотности. Процессы, обладающие последним свойством, называются баротропными.

Для изэнтропических течений, как и для течений несжимаемой жидкости, оказывается справедливой теорема о постоянстве циркуляции скорости по произвольному замкнутому жидкому контуру. Из нее следует, что имеет смысл рассматривать изэнтропические потенциальные течения сжимаемой жидкости.

Следует, однако, отметить, что в определенных условиях в сжимаемых жидкостях, в отличие от несжимаемых, даже при гладких начальных условиях могут образоваться так называемые сильные разрывы — поверхности, на которых гидродинамические величины (например, плотности и давления) меняются скачком. Из термодинамических соображений, а также из законов сохранения импульса и энергии следует, что при прохождении частицы через такой разрыв ее энтропия меняется скачком и изэнтропичность нарушается. При возникновении сильных разрывов перестает быть справедливой и теорема о сохранении циркуляции, в которой условие изэнтропичности является существенным. Таким образом, появление сильных разрывов нарушает наши упрощающие предположения.

Тем не менее класс изэнтропических потенциальных течений сжимаемой жидкости достаточно широк и часто встречается в приложениях.

Плоские установившиеся течения

Теория существенно упрощается, если в дополнение к предположениям об изэнтропичности и потенциальности предположить, что движение является плоским и установившимся. Тогда уравнение неразрывности (1) примет вид

добавится условие отсутствия завихренности

(мы пренебрегаем внешними силами — при больших скоростях они несущественны). Второе слагаемое

то интеграл (8) получается из уравнения движения (12) точно так же, как и в случае несжимаемой жидкости.

Для идеального газа (при постоянной энтропии 5)

— квадрат скорости распространения звука в этом газе, и интеграл Бернулли принимает вид

скорость звука, таким образом, оказывается функцией от скорости v движения газа. Отсюда сразу получается вывод, принципиально отличающий движения идеального газа от движений несжимаемой жидкости, — в случае газа скорость движения не может превышать некоторой величины vm, зависящей от свойств этого газа, при которой скорость звука оказывается равной нулю.

(максимальная скорость достигается при с = 0), и если теперь в это соотношение подставить выражение с2 через р, то после простых преобразований мы получим

Это соотношение можно рассматривать как интеграл Бернулли для идеального газа; постоянная ро равна плотности неподвижного газа (при и=0), она, как и vm, зависит от свойств этого газа.

Если подставить эту зависимость в (6), то все сведется к решению системы двух дифференциальных уравнений первого порядка (6) и (7) относительно двух неизвестных функций Vx и Vy. В отличие от случая несжимаемой жидкости эта система нелинейна1), что и является главной причиной дополнительных" затруднений, возникающих при отказе от несжимаемости.