Уравнение для потенциала

Продолжаем описание плоских движений, сохранив сделанные выше предположения. Из соотношения (7) следует существование потенциала скоростей ф, так что

для которой

= const. Сравнивая (11) и (12), мы получаем систему дифференциальных уравнений

она перейдет

в систему (14) предыдущего параграфа, описывающую плоские движения несжимаемой жидкости.

получится уравнение

Далее, дифференцируя по р интеграл Бернулли (8), мы найдем

=

Подставляя это в уравнение (14), мы после простых преобразований приведем его к виду

= 0J. Уравнение (16) относится к так называемым квазилинейным уравнениям второго порядка — линейным относительно старших производных, т. е. производных второго порядка.

Звуковой барьер. Очень существенным обстоятельством является то, что уравнение (16) может менять тип. Тип квазилинейного дифференциального уравнения

определяется квадратической формой

— если эта форма сохраняет знак, то говорят, что уравнение (17)—эллиптического типа, а если она меняет знак, то (17) называют уравнением гиперболического типа. Но форма (18), очевидно, имеет тот же знак, что

— гиперболического.

Для уравнения (16) дискриминант

следовательно, оно эллиптическое при дозвуковых скоростях (v < с) и гиперболическое при сверхзвуковых (v > с) — переход через скорость звука сопровождается переменой типа этого уравнения.

— произведение плотности среды на скорость. В силу интеграла Бернулли плотность среды является функцией от скорости, значит, и расход тоже; пользуясь формулой (15), мы находим

Отсюда видно, что при дозвуковых режимах расход-растет при увеличении скорости, а при сверхзвуковых, наоборот, падает. Можно указать и другие явления, резко меняющиеся при переходе через скорость звука. Легко понять, как важно это обстоятельство для пилота, ведущего самолет со скоростью, близкой к звуковой— ведь одно и то же его действие при дозвуковых и сверхзвуковых режимах может привести к прямо противоположным результатам!

Характеристики. Одно из наиболее существенных от личий сверхзвуковых и дозвуковых режимов среды связано с различным характером распространений в них локальных возмущений. Именно, при дозвуковых скоростях возмущения распространяются по всему прост ранству, а при сверхзвуковых — лишь внутри некоторого сектора.

Качественную причину этого понять нетрудно, если учесть, что возмущения в среде распространяются со скоростью звука. Представим себе, что среда неподвижна, а источник возмущений прямолинейно движется со скоростью v. Если v < с, то источник двигается медленнее, чем производимые им возмущения, и картина возмущений будет такой, как изображено на рис. 4, а. Если же v > с, то источник будет опережать возмущения, и мы получим картину, изображенную на рис. 4, б.

То же самое, конечно, будет происходить, если источник возмущений неподвижен, а среда движется с дозвуковой или сверхзвуковой скоростью. Так как мы ограничиваемся установившимися движениями, то мы должны предположить, что в дозвуковом Случае возмущения уже заняли все пространство, а в сверхзвуковом — весь сектор с вершиной в точке возмущения; вне сектора движение не возмущено. Границы этого сектора — линии, отделяющие возмущенную зону от невозмущенной, называются характеристиками, они играют фундаментальную роль при изучении сверхзвуковых течений. В дозвуковых течениях характеристик нет.

Характеристики очень естественно появляются и в теории уравнений с частными производными. Для уравнений эллиптического типа вида (17) оказывается справедливой теорема единственности, по которой всякое их решение, обращающееся в нуль в каком-либо кружке, тождественно равно нулю. Но для гиперболических уравнений это не так: существуют решения, которые равны нулю в некоторой зоне и отличны от нуля в другой.

= 0. Таким образом, линии раздела надо искать среди тех кривых, на которых задача Коши имеет неединственное решение.

Выясним, что это за кривые, в случае квазилинейного уравнения (17). Зададим на некоторой кривой

— параметр, данные Коши:

тождеств

Полученная система может оказаться неразрешимой или разрешимой неоднозначно лишь в случае, когда ее определитель равен 0, т. е. когда

а тогда по формуле

Тейлора в окрестности у однозначно определится и само решение. Если же вдоль у удовлетворяется соотношение (20), то эта процедура либо невыполнима, либо неопределенна. В последнем случае мы получим, в частности, линии раздела, отделяющие зоны, в которых решение тождественно равно 0, от зон, в которых оно отлично от нуля (рис. 5).

,  то (20) будет

квадратным уравнением, определяющим наклон характеристики. Мы видим, что для уравнений эллиптического типа (АС — В2 > 0) действительных характеристик не существует, а для уравнений гиперболического типа (АС — В2 < 0) через каждую точку проходят две характеристики 1).

Для уравнения потенциала (16), в частности, характеристики определяются уравнением

). Если обозначить через б угол наклона вектора скорости к оси х, а через а — так называемый угол Маха, который определяется соотношением

(он имеет смысл лишь при сверхзвуковых скоростях), то формулу (21) можно переписать в виде

равна скорости звука с —это и понятно, ибо характеристики представляют собой фронты распространения возмущений, а возмущения в среде распространяются со скоростью звука.

Мелкая вода. Укажем еще задачу на потенциальные течения несжимаемой жидкости, в которой также появляются уравнения гиперболического типа. Рассмотрим неустановившееся плоское движение в неглубоком водоеме с твердым дном у = —h(x) и со свободной граничной поверхностью у = ц(х, t); координаты вектора

будем здесь обозначать через и и v соответственно.

Отметим сначала, что имеет место соотношение

В самом деле, по правилам дифференцирования интегралов, зависящих от параметра

Но на свободной поверхности и на дне выполняются, соответственно, граничные условия

Подставляя это в предыдущее равенство, мы найдем

последний интеграл равен нулю в силу условия несжимаемости, и мы получаем (24).

В теории мелкой воды делается предположение о том, что давление в жидкости совпадает с гидростатическим, т, е. что оно пропорционально глубине

— постоянное атмосферное давление. Подставляя это в уравнение движения, мы найдем для первой координаты скорости

не зависит от у. С учетом этого замечания из (24) мы получаем

тогда

(ср. с формулой (5)). Если подставить величины Р и р в уравнения (26) и (27)

, то эти уравнения

перепишутся в виде

мы можем записать

систему (26) — (27) в виде

В теории уравнений с частными производными доказывается (см., например, [3]), что тип системы

(многоточие означает члены, не содержащие производных) определяется знаком дискриминанта

Для системы (30) этот дискриминант отрицателен:

Следовательно, эта система — гиперболического типа.

малы вместе с производными. Тогда можно пренебречь членами второго порядка малости (такими, как и2, цих и т. д.) и система приближенно заменится такой линейной системой:

Из этой системы легко исключается функция и и для высоты слоя жидкости т] получается уравнение

Если дно водоема ровное (А = const), то (32) сведется к простейшему уравнению гиперболического типа

Общее решение этого уравнения очень легко выписывается через две произвольные функции

функции fi и f2 определяются через начальные и граничные условия.

они определяют фронт волны (и, в частности, отделяют зону покоя от возмущенной зоны, если функции /i и /2 отличны от нуля только на конечном интервале, как это обычно бывает). Каждый читатель, несомненно, видел такие характеристики на мелкой воде — когда поливают асфальт, по ним распространяются возмущения от маленьких бугорков. Более подробно о свойствах решений уравнения (33) будет говориться в следующей главе.

= 0. А из формулы (29) следует такой важный вывод — в мелкой воде верхние участки волны, для которых возвышение т] больше, движутся с большей скоростью, чем нижние. Этот вывод объясняет явление опрокидывания волн при набегании их на берег (рис. 7), его наблюдал каждый, кто был на море.

Математически явление опрокидывания волн дает пример решения уравнения с частными производными, которое имеет особенности. В теории уравнений доказывается, что линейные эллиптические уравнения с гладкими коэффициентами могут иметь лишь гладкие решения. Поэтому появление негладких (разрывных или с разрывными производными) решений наблюдается лишь у гиперболических или нелинейных уравнений. Решения с особенностями, аналогичные опрокидыванию волн, играют большую роль в сверхзвуковой газовой динамике (ударные волны, скачки уплотнения). О них мы немного поговорим в гл. IV; при дозвуковых скоростях такие решения невозможны.

вместо (32) мы получим уравнение

Это приближенное уравнение называют акустическим.