Граничные условия

Вернемся к схеме потенциального движения. Решение задач гидродинамики в этой схеме сводится к отысканию решения уравнения с частными производными (6), удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые и отражают специфику задачи. Изучение свойств решений этого уравнения, не связанных с такими дополнительными условиями, может лишь прояснить общие свойства потенциальных течений, а вся тяжесть решения конкретных задач падает на формулировку этих условий и построение решения, которое им удовлетворяет.

Дополнительные условия бывают двух родов: начальные и граничные; причем начальные условия нужно ставить только при изучении неустановившихся движений, для установившихся они не ставятся. Начальные условия сводятся к заданию в исходный момент времени (обычно t — 0) области D0, занятой жидкостью, и распределения потенциала в этой области

Заданная функция f должна в D0 удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. быть гармонической в D0.

Во многих задачах Гt делится на три части (см. рис. 3): твердая неподвижная граница ГУ подвижная твердая граница Г2 и свободная граница Г3. Выпишем граничные условия, которые соответствуют этим частям.

где градиент, как всегда у нас, берется по пространственным переменным. Для твердых границ принимается еще условие непроницаемости, согласно которому Un должна совпадать с нормальной (по отношению к границе) составляющей скорости движения жидкости, т. е. с величиной

б) Твердые неподвижные границы мож- но рассматривать как частный случай подвижных, ког- да функция F не зависит от t. Соответствующее гранич- ное условие имеет, следовательно, вид: для всех х, удовлетворяющих уравнению F(x) =0, и для всех t должно выполняться соотношение

— производная в направлении нормали к границе.

в) Свободные границы. Форма таких границ заранее не задается, условие же (28) (или (29), если рассматриваемая граница неподвижна) сохраняется как кинематическое условие с неизвестной функцией F. Зато обычно считают, что на свободной поверхности постоян- но давление Р (равное атмосферному, если речь идет об открытых водоемах). На основании интеграла Ко- ши — Лагранжа (8) это приводит к дополнительному соотношению, выполняемому на свободной границе:

здесь U — потенциал внешних сил, действующих на границу (функцию Ф из правой части (8) можно включить в ф как несущественное слагаемое).

В случае установившегося движения границы не зависят от t, поэтому на твердых (известных) участках должно выполняться граничное условие (29), а на свободных участках — то же условие (29) с неизвестной функцией F и еще условие (30), в котором отсутствует

= const, т. е. что граница является одной из линий тока.

Такая простая формулировка граничных условий в плоских и осесимметрических задачах и составляет одно из тех двух упрощающих обстоятельств, о которых говорилось выше.