Парадоксы в схеме идеальной жидкости

Парадокс подъемной силы. Напомним, что величина давления в установившемся безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется из интеграла Бернулли:

контура, равна

а результирующая сила, действующая на весь контур:

по замкнутому контуру равен нулю). Составляющая X вектора F называется лобовым сопротивлением, a Y — подъемной силой.

Подставим это в (2) и перейдем к комплексно сопряженным величинам: мы получим классическую формулу С. А. Чаплыгина (1910 г.):

Подставляя это в формулу (3), мы приходим к парадоксальному результату: и подъемная сила, и лобовое сопротивление в этой задаче оказываются равными нулю!

течения должна быть аналитической функцией в этой внешности, а в окрестности бесконечности должна иметь разложение вида

— вектор скорости течения в бесконечности.

и, сле-

С другой стороны, как видно из (5),

и интегрируя (5), получаем следующее разложение комплексного потенциала нашего течения в окрестности бесконечности:

здесь с — произвольная постоянная.

. Поэтому интеграл в формуле Чаплыгина равен 0, и в этом случае парадокс сохраняется для любого контура.

в окрестности бесконечности

Подставляя это в формулу (3) и переходя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе (1904 г.)

а критические точки потока —

с нормировкой

; величина R вполне определяется условиями нормировки. Подставляя в (8) g(z) вместо z, получим комплексный потенциал течения:

полученное представление действует во всей внешности контура, а (6) дает разложение этой функции в окрестности бесконечности.

остается свободным параметром — мы можем задавать его произвольно. Остается выяснить ситуацию с величиной циркуляции Г. Как видно из (9), эта величина полностью определится, если известен аргумент образа точки разветвления или схода потока при отображении g. В принципе эти точки можно задавать произвольно, так ,что Г также является свободным параметром.

отображающей функции обращается в этой точке в бесконечность. Отсюда, вообще говоря, следует физически невозможный вывод о том, что скорость течения в точке z0 бесконечно велика.

и следовательно,

). Но как видно из решения задачи об обтекании круглого цилиндра в гл. III, производная комплексного потенциала

где С — по-

стоянная. Тогда в окрестности г0 по правилу дифференцирования сложных функций

и эта производная действительно конечна в точке z0.

известна. Значит, по формуле (7). определится и величина результатирующей силы, которая действует на крыло:

Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах.

Заметим, однако, что проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмотрим в дальнейшем изложении.

все векторы

скорости которого направлены по окружности и имеют постоянную длину. В пространстве аналогичного течения нет — это вытекает из геометрической теоремы, по которой на сфере не существует непрерывного касательного векторного поля отличных от нуля векторов (ее называют теоремой о невозможности причесать ежа). Поэтому в пространственных задачах устранить парадокс описанным выше способом не удается.

Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений.