Сверхзвуковые включения

в ряде случаев сначала появляются небольшие сверхзвуковые зоны вблизи мест, где трубы сужаются, а в остальной части течение остается дозвуковым.

Приведем математическую постановку задачи, которая возникает в связи с такого рода течениями. Мы сформулируем ее в рамках описанной выше модели смешанных течений.

Дана область D типа полосы, ограниченная осью х и гладкой кривой Г с горизонтальной асимптотой. При заданной скорости в бесконечности

общие концы с Г1

(рис. 46), так что:

отображение f в плоскость ком- плексного потенциала определяется системой Коши — Римана

в D1 это же отображение удовлетворяет системе

поле скоростей непрерывно всюду в D;

Напомним, что системы (11) и (12) подобраны так, что их производные системы являются соответственно простейшими системами эллиптического и гиперболического типа.

должна быть строго выпуклой (не может содержать прямолинейных отрезков). Ряд результатов исследований сверхзвуковых течений можно найти в книге Л. И. Седова [2].

в области D существовало единственное течение со сверхзвуковой зоной, примыкающей к Г. Быть может, переход к упрощенной модели уравнений газовой динамики, которая предложена здесь, облегчает математический аппарат (в дозвуковой зоне можно пользоваться теорией конформных отображений, а в сверхзвуковой — простыми представлениями решений, которые даны в § 15), и для этой модели задачу удастся решить.

Необходимость значительных ограничений на кривую Г видна из исследований Ф. И. Франкля и других, в которых для ряда случаев доказывается невозможность течений с местными сверхзвуковыми зонами без разрыва скоростей. С соображениями такого рода можно ознакомиться по книге Л. Б е р с а [5]. В свете сказанного, естественно наряду с поставленной выше задачей, где поле скоростей остается непрерывным, рассматривать также течения со скачками скорости и давления. Такие течения были рассмотрены в работах Ф. И. Франкля [11] и [12], где граница сверхзвуковой зоны состоит из линий перехода у и скачка уплотнения о (рис. 47).

Поясним этот термин. Как известно, у эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами и все решения гладкие. Гиперболические уравнения не обладают таким свойством, например, решения уравнений второго порядка с гладкими коэффициентами могут иметь разрывы вторых производных на характеристиках (см., например, Р. Курант и К. Фридрихе [4]). Кроме таких разрывов, называемых слабыми разрывами, могут существовать разрывы другого рода, которые называются скачками.

Скачки (в двумерном случае, рассматриваемом здесь) представляют собой линии, на которых происходит разрыв скорости, а значит — плотности и давления. Физически они реализуются в виде узких полосок весьма быстрого изменения скоростей, где выступает вязкость как существенный параметр, которым нельзя пренебрегать. Величины разрывов на скачке (т. е. разностей предельных значений после скачка и до него, считая по направлению движения вдоль линий тока) не произвольны, они управляются гидродинамическими и термодинамическими факторами.

Наиболее часто рассматриваются скачки, удовлетворяющие следующим трем условиям: 1) тангенциальная (по отношению к скачку а) составляющая скорости остается непрерывной при переходе через скачок; 2) остается непрерывным произведение плотности на нормальную составляющую скорости (это требование вытекает из закона сохранения массы); 3) плотность при переходе через скачок может лишь возрастать (следствие второго закона термодинамики). Такие скачки поэтому называются скачками уплотнения. При переходе через них скорость движения может, следовательно, лишь упасть, в частности, сверхзвуковое течение может перейти в дозвуковое, но не наоборот. Подробнее о разрывных решениях уравнений газовой динамики можно прочитать в книге Н. Е. Кочина, И. А. Кибе-ляиН. В. Розе [1].

Было бы интересно проанализировать течения со сверхзвуковыми зонами, заканчивающимися скачками уплотнения, в рассматриваемой здесь упрощенной модели уравнений газовой динамики. По-видимому, в этой модели можно дать более исчерпывающее исследование, чем в классической.

разбивающую D

сохраняющие бесконечные точки полос,

оба отображения должны совпадать. Для

Для произвольных систем эта задача, по-видимому, неразрешима. Дело в том, что в эллиптической зоне D0 влияние локальных вариаций границы у быстро затухает по мере удаления от места вариации, а в гиперболической зоне D1 эффект затухания отсутствует. Это обстоятельство может сделать поставленную задачу неустойчивой и в общем случае неразрешимой.

Из этого затруднения можно найти выход, соответствующий условиям, которые реализуются на практике. Он состоит в учете вязкости, под влиянием которой эффект локальных вариаций затухает по мере удаления от места вариации также и в сверхзвуковых течениях. В модельных постановках вязкость можно учитывать в форме какого-либо сглаживающего процесса, которому следует подвергать решения гиперболических систем.

. Сглаживающий процесс для отображения f1 можно организовать, скажем, так. Заменяем характеристики V и а функциями

считая его близким к линейному при больших отрицательных х.

процес: сом сглаживания.

и

и сгла-

будет отличаться от 1 на величину

).

сгладим его процессом (13)

и т. д. Естественно ожидать, что этот процесс сходится к решению задачи о склейке, но доказательство, по-видимому, сопряжено с большими трудностями.

В заключение мы приведем общую постановку, которая естественно возникает в связи с рассмотренной выше задачей. В большом количестве явлений, наблюдаемых в гидродинамике, наряду с факторами, управляемыми дифференциальными уравнениями, оказываются весьма существенными и некоторые другие факторы. Поэтому представляется очень заманчивым построение теории классов отображений, описываемых не как решения тех или иных систем уравнений с частными производными, а скажем, заданных аксиоматически, по совокупности характерных свойств.

Например, пусть задан класс Е односвязных областей D с гладкими границами, который наряду с каждой областью D0 содержит и все области, которые получаются из D0 гладкими малыми деформациями. Пусть еще задан алгоритм A(D), который каждой области.

ставит в соответствие единственное при заданном соответствии трех пар граничных точек гомеоморф-ное отображение / области D на какую-либо каноническую область (круг, полуплоскость или полосу). Алгоритм предполагается непрерывным, т. е. сопоставляющим близким областям D и близкие отображения f = A(D).

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = A(D) справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений.

Отображения, соответствующие алгоритмам с определенными свойствами, можно рассматривать как квазиконформные отображения в широком смысле. Развитие такого аксиоматического подхода к теории квазиконформных отображений представляет значительный интерес, как с точки зрения самой теории, так и ее возможных приложений.

Плоские задачи

В предыдущих главах уже не раз говорилось об этих задачах в их классической постановке. Здесь мы продолжим разбор, причем наряду с классическими рассмотрим и некоторые новые задачи.