Меню сайта

Предыдущая     |         Содержание     |    следующая

Проблемы гидромеханники

Течения с постоянной завихренностью

= const.

Помещая внутри области или на ее границе точечные источники или точечные вихри, мы можем получить движения следующих типов:

Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно малую вязкость, то под ее влиянием движение быстро перестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная диссипация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на границе нет трения, под влиянием вязкости будет стремиться к вращению жидкости как твердого тела.

Постоянная завихренность. Новую схему установившегося движения в ограниченной односвязной области с гладкой границей мы получим, если откажемся от условия отсутствия вихрей, предполагая, что вихри располагаются во всех точках области. Для простоты будем считать завихренность со постоянной во всей области D. Тогда вместо обычных уравнений, приводящих к условию аналитичности, для координат вектора скорости — мы будем их здесь обозначать через Vx и Vv — получим следующие уравнения:

(второе уравнение по-прежнему выражает условие отсутствия источников).

— гармоническая,

к функциям

тогда (1) перейдет, очевидно, в систему Коши — Римана

и функция f = и + iv будет аналитической. Это позволяет привлечь для изучения рассматриваемой схемы аппарат теории аналитических функций.

т. е. имеет вид

Переходя к функции f = и + iv, мы перепишем его в виде

Последнее условие можно переписать так:

Из принципа максимума следует, что единственным решением задачи, которое не

имеет особенностей в круге

, т. е,

В отличие от классического вих-

ревого движения, изображенного на рис. 50, в, это движение устойчиво, ибо для него энергия всюду конечна.

Оно записывается в виде

или, после перехода к аналитической функции f = = и + iv, в виде

Это — одна из так называемых линейных граничных задач теории аналитических функций. В классе ограниченных функций она имеет единственное решение для любого гладкого контура Г.

Она по-прежнему вводится как функция, дифференциал которой равен

(в силу второго уравнения (1) выражение справа является точным дифференциалом). Мы имеем

= const на границе D.

Подставляя (8) в первое уравнение (I), мы найдем, что функция тока удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона

Потенциала скоростей в этой схеме не существует просто потому, что движение не потенциально.

Заметим, что принятое в схеме условие постоянства завихренности является естественным, если рассматривать течение как предельное для ламинарного течения вязкой жидкости в предположении, что вязкость v -* 0. В самом деле, завихренность для установившегося плоского движения вязкой несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Это уравнение можно переписать в виде

ограниченным;

и, следовательно, при малых v максимум и

почти постоянна в D. .

Свойства течений

и поэтому либо

и не за-

то такой поток

называется угловым расходом рассматриваемого течения (рис. 51).

равна

— при  уменьшении радиуса круга она не увеличивается, а уменьшается.

Однако этот принцип можно сохранить, если рассматривать движения с одинаковым угловым расходом. Для случая ограниченных областей он формулируется так:

Если до-

и с заданным расходом Н.

  и следовательно, она является гармонической в D. Граничные условия для этой функции принимают вид

где правые части известны из условий задачи. Задача Дирихле имеет в классе ограниченных гармонических функций единственное решение, а значит, однозначно разрешима и наша задача построения течения с постоянной завихренностью в областях типа полосы.