Гармонические функции

Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа

В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности

, мы найдем, что функция и— действительная часть аналитической функции — является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической.

будет аналитической в D. В самом деле, в силу уравнения (1)

в односвязной области вляется точным дифференциалом некоторой функции v, которая и является искомой. Таким образом, сопряженные гармонические функции находятся простым интегрированием.

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:

принадлежит области гармоничности и.

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области D функция не может достигать внутри D ни максимума, ни минимума.

с одина-

должна достигать и мак-

всюду в D.

Возникает естественная задача восстановления гармонической  в  области  функции  по  ее граничным значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется:

Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией.

применить интегральную формулу Коши:

и, следовательно,воспользуемся теоремой

Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что

1 мы имеем

мы получим

теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так называемый интеграл Пуассона

определяет гармоническую в круге функцию u(z) с заданными граничными значениями.

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию f(z) по граничным значениям ее действительной части:

эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной.

обозначают, соответственно, значения действительной части f на нижней и верхней границах полосы.

гармонична в А. Теорема доказывается прямым подсчетом, по которому оператор Лапласа

В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования.

Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана:

  , реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Остается вернуться к переменной г и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях; мы получим искомое решение:

которую искомое

отображение f переводит в центр круга w = 0 (рис. 19).

В ней функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разложение вида

=

Но тогда логарифм этой

функции аналитичен в D, а значит, его действительная часть, т. е. функция

должна быть гармонической в D.

Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если f отображает D на единичный круг, то должен равняться 1 на границе D, а значит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны

и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой z0 (рис. 19). Чтобы найти искомое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным граничным значениям (1СН построить гармоническую в D

функцию и(z) (задача Дирихле), 2) найти функцию v(z), гармонически сопряженную с и (интегрирование). Теперь мы знаем функцию

откуда искомое отображение находится по формуле

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на границе D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения D на круг), то такая проверка излишня — проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11).

будет искомым конформным отображением.