Конформные и квазиконформные отображения

Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.

Задача Римана

Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.

Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.

Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение f-l, обратное и конформному отображению f, и 2) сложное отображение f ° g, составленное из двух конформных отображений f и g (т. е. отображение w = f[g(z)]), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.

будет отображать D1 на D2 (рис. 21).

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).

функция

(1) преобразует единичную ок-

ружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно z, и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров — двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 9, изменение которого означает поворот круга относительно центра.

Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:

конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение — они называются условиями нормировки—могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.

Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.

, на себя;

здесь а — произвольная точка верхней полуплоскости (Ima>0), она переводится при отображении  (2) в

3) Внешность единичного круга на внешность отрезка [—1, 1] отображается так на- зываемой функцией Жуковского

  и с

а лучи argz = const — в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).

на единичный круг отображается функцией

Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в меридианы и параллели (рис. 24).

Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость   при нормировке

где а и а — параметры сегмента (рис. 25), а с — действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой

с точностью до малых высших порядков дает площадь о выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде

6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:

— вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.

имеет вид

— гиперболический тангенс.

Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями) , чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.

Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым Го и Г без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе D, ограниченной кривыми Го и Г.

Найти тече-

ние— значит найти эту функцию.

Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых Го и Г должна быть линией тока v = const, это дает граничное условие задачи. Мы можем задать еще расход потока h, который, как показано в прошлой главе, равен

т. е. любое

, ее решением служит любая функция

  обращается  в нуль  при у = 0 и

Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.

с нормировкой

так чго задачи действительно эквивалентны.

на бесконечности дает функция

Поле скоростей здесь симметрично относительно оси х, точкой разветвления потоков служит z = —R, а точкой слияния z = R. Можно, не меняя величины скорости в бесконечности, поместить там точечный вихрь. Тогда мы получим циркуляционное обтекание круга с комплексным потенциалом

— постоянная, характеризующая интенсив-

ность вихря.

Под влиянием циркуляции точки разветвления и слияния потока (так называемые критические точки) сместятся. В самом деле, в этих точках скорость течения очевидно равна нулю, следовательно, они находятся из уравнения

Решая это квадратное уравнение, получаем

т. е. обе критические

точки лежат на обтекаемой окружности, их аргументы равны соответственно

сливаются в одну. Дальнейшее возрастание и приводит к тому, что одна из критических точек

сдвигается в поток) и образуются замкнутые линии тока (рис. 27). О физическом смысле этого явления мы будем говорить в гл. V в связи с парадоксами в схеме идеальной жидкости.