Квазиконформные отображениия

Имея в виду применения к более общим задачам о течениях сжимаемой жидкости, которые будут рассмотрены в дальнейших главах, мы приведем здесь обобщение понятия конформности. Это обобщение получится, если вместо условия сохранения бесконечно малых окружностей мы рассмотрим условие преобразования одного семейства подобных и подобно расположенных эллипсов в другое такое же семейство.

уравнением

Как показывают выкладки, условие того, что дифференциал отображения f = и + iv преобразует эллипсы семейства (13) в эллипсы семейства (14), записывается

в виде системы двух уравнений, связывающих частные производные отображения:

коэффициенты которой выражаются через коэффициенты уравнений эллипсов по формулам

Обратно, любую систему вида (15), для которой

можно рассматривать как условие преобразования друг в друга семейств эллипсов, коэффициенты уравнений которых определяются через коэффициенты системы по формулам

, — о нем мы будем говорить в следующей главе.

Интерпретация ft-аналитичности. Система

выражающая условия /г-аналитичности, не принадлежит только что рассмотренному типу систем, ибо для нее не выполняется неравенство (17). Можно было бы интерпретировать /г-аналитичность как конформность, только не в обычной евклидовой, а в некоторой специальной гиперболической метрике. Однако мы не будем этого делать, а ограничимся указанием других связей.

то в новых переменных система (19) перепишется так:

Вводя функции, выражающие эти зависимости, и возвращаясь к старым переменным х и у, мы найдем общее представление /г-аналитических функций:

—произвольные функции.

Это представление обнаруживает простоту устройства /г-аналитических функций и показывает, что их теория вполне элементарна. Она далеко не так глубока, как теория обычных аналитических функций. Это же представление выявляет связь h-аналитических функций с волновыми процессами.

как некоторую волну, то при нашем перемещении мы движемся вместе с фронтом распространения этой волны (рис. 16). Точно так

). Через комбинации этих двух волн и выражаются h-аналитические функции.

проходящие через начало

координат, служат и геометрическим местом делителей нуля для соответствующей (14) гиперболической системы комплексных чисел.)

С гиперболической системой (19) мы встретимся, когда будем рассматривать модельные задачи для сверх.

звуковых течений газа. Сейчас мы расстанемся с ней, чтобы подробнее познакомиться с ее антиподом—системой (1), простейшей системой эллиптического типа, которая описывает течения несжимаемой жидкости.