Меню сайта

Предыдущая     |         Содержание     |    следующая

Проблемы гидромеханники

Физический и геометрический смысл аналитичности

= const ортогональны к ним (рис. 11). Через производные этих функций выражаются координаты вектора скорости:

которая называется комплексным потенциалом течения. Верно и обратное: любую аналитическую в области D функцию f(z) можно трактовать как комплексный потенциал некоторого установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Таким образом, условия аналитичности имеют прямую гидродинамическую интерпретацию—они эквивалентны указанным условиям на течения.

Зная комплексный потенциал течения, мы можем найти все связанные с этим течением величины. В частности, вектор скорости в произвольной точке z области течения выражается комплексным числом

сопряженным к производной комплексного потенциала.

аналитической функции f также является аналитической функцией (см. следующий параграф), а комплексно сопряженная к аналитической функция называется антианалитической (такие функции, очевидно, удовлетворяют условиям Коши — Римана с измененными знаками). Формула (3) показывает, следовательно, что поля скоростей течений, удовлетворяющие принятым выше условиям, описываются антианалитическими функциями.

В дальнейшем мы увидим, что и граничные условия, которые возникают в задачах гидродинамики, для рассматриваемых течений естественно выражаются через комплексный потенциал. Так как теория аналитических функций очень хорошо развита, то мы получаем мощный математический аппарат для решения задач гидродинамики таких течений.

Физический смысл особых точек. Простую гидродинамическую интерпретацию допускают также изолированные особые точки аналитических функций.

Поток этого вектора через любую окружность z — r равен

, причем N—постоянная величина,

она характеризует обильность источника. Таким образом, вектор скорости течения

а его комплексный потенциал (он находится из формулы (3) интегрированием, несущественное постоянное слагаемое мы отбрасываем)

На рис. 12, а приведены линии тока (сплошные) и линии равного потенциала (пунктирные) этого течения.

2) Вихрь. Точно так же находятся вектор скорости и комплексный потенциал плоского течения, инициированного единственным точечным вихрем, который расположен в начале координат:

Постоянная Г характеризует интенсивность вихря. На рис. 12,6 приведены линии тока и равного потенциала течения.

Можно рассматривать также точечный вихре-источник, который представляет собой объединение в одной точке и источника, и вихря. Если вихреисточник расположен в начале координат, а его интенсивность характеризуется комплексным числом c = N+iT, то вектор скорости и комплексный потенциал течения, им инициированного, получится из (4), (5) и (6) сложением:

Мы видим, таким образом, что логарифмическая точка ветвления комплексного потенциала физически интерпретируется как вихреисточник, расположенный в этой точке.

3) Диполь. Рассмотрим совокупность источника и стока обильностей ±:N, расположенных соответственно в точках z1 = —h и z2 = 0. Комплексный потенциал течения получается из формулы (5) и ее обобщения, когда источник располагается в точке z = —h, сложением:

и одно-

так что Nh

стремится к конечной величине р. Предельное образование, которое при этом получается (слияние источника истока возрастающей интенсивности), называется точечным диполем с моментом р.

Комплексный потенциал течения, инициированного диполем, находится из предыдущей формулы предельным переходом:

На рис. 13 изображены линии тока и линии равного потенциала поля точечного диполя.

Можно рассматривать также точечные особенности, которые получаются слиянием диполей с возрастающими моментами. Так, из предыдущей формулы мы получаем для слияния диполей, расположенных в точках Z1 = —h, z2 = 0:

слияние таких особенностей дает степень z3 в знаменателе и т. д. Особенности такого типа называются точечными мультиполями.

Мы видим, что полюсы комплексного потенциала интерпретируются как точечные мультиполи.

Как мы уже говорили, из них вытекает орто-

гональность линий уровня и и v, что выражается условием ортогональности градиентов этих функций:

Из тех же условий вытекает равенство модулей этих градиентов:

обозначает растяжение линии и(х, у) = const. Условие (10) выражает, следовательно, равенство этих растяжений. Таким образом, (9) и (10) вместе показывают, что при отображении f осуществляемом аналитической функцией, бесконечно малые квадраты, образованные линиями u = const, v = const, преобразуются также в бесконечно малые квадраты (рис. 14).

Это высказывание можно уточнить, если вместо отображения f рассмотреть его главную линейную часть (дифференциал) в точке z0, т. е. линейное преобразование

  берутся в точке Zo). В общем случае, когда функции и и v лишь дифференцируемы в смысле действительного

анализа, это преобразование (если оно не вырождено, т. е. его определитель

отличен от нуля в точке z0) переводит квадраты в параллелограммы. Если же f — аналитическая функция, то, как видно из (9) и (10), оно преобразует квадраты снова в квадраты, т. е. сводится к повороту с растяжением.

сопряженная с f), в этом слу-

в точности сводится к условиям положительности якобиана и сохранения бесконечно малых квадратов.

дифферен-

циал отображения f вырождается и конформность нарушается.

Нетрудно видеть, что конформность отображения f можно выразить также условием, что его дифференциал (11) сохраняет углы или сохраняет окружности — каждое из этих условий приводит к тому, что (11) сводится к повороту с растяжением.