Свойства аналитических функций

Класс аналитических функций весьма широк. Это видно, например, из следующей теоремы:

Если ряд из функций, аналитических в области D, сходится равномерно в этой области, то его сумма также является аналитической в D функцией.

Степенные ряды. Рассмотрим, в частности, степенной ряд

,

Так как члены степенного ряда ана-литичны во всей плоскости, то по цитированной теореме сумма такого ряда будет аналитической в круге его сходимости.

с центром в этой точке она разлагается в сходящийся степенной ряд:

Таким образом, аналитичность функции в окрестности некоторой точки оказывается эквивалентной ее разложимости в степенной ряд с центром в этой точке.

Теории степенных рядов посвящено много исследований и она оказалась сильным аппаратом как для изучения свойств аналитических функций, так и для приближенного решения прикладных задач. Заметим, однако, что здесь речь идет о локальных свойствах и задачах, т. е. об изучении свойств функций в окрестности некоторой точки, — для глобального изучения функций в областях, отличных от кругов, аппарат степенных рядов не годится.

Отметим несколько свойств аналитических функций, которые вытекают из их представимости степенными рядами. Во-первых, любой степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, поэтому аналитические функции обладают производными всех порядков. Отсюда следует, что разложения аналитических функций в степенной ряд совпадают с их разложениями по формуле Тейлора:

В частности, справедливы известные разложения элементарных функций 7 _Ч

, его сходимость лимитируется точкой z = — 1, в которой log(l + z) теряет аналитичность).

такой, что в окрестности точки а

— аналитиче:

). Такое целое число п называется порядком нуля функции f в точке а.

Свойство открытости. Из формулы (5) вытекает, что непостоянная аналитическая функция каждую внутреннюю точку ее области определения переводит во внутреннюю точку множества ее значений (в самом деле, f(z) — f(a) в окрестности z = a ведет себя, с точностью до малых высших порядков, как целая степень (z—а)n, а целая степень обладает этим свойством). Последнее свойство называется свойством открытости отображения. Из него вытекает, что непостоянные аналитические отображения всегда преобразуют области в области.

Из условий аналитичности видно, что якобиан аналитического отображения f = и + iv

Последние точки называются критическими точками отображения f; можно доказать, что множество таких точек изолировано в области аналитичности функции, т. е. не имеет предельных точек внутри этой области.

может менять знак

преобразует внутреннюю точку z = 0 в граничную точку w — 0

Простым следствием свойства открытости является важный принцип максимума модуля: если модуль ана- литической в области D функции f достигает максиму- ма во внутренней точке D, то эта функция постоянна. В самом деле, если функция f непостоянна, то по этому свойству в окрестности любой точки а из D она прини- мает все значения из некоторой окрестности точки f(a), в том числе и такие значения, модуль которых больше [f(a)|, т. е. значение не может быть макси-

мальным.