Неустановившиеся движения

Этот сравнительно молодой раздел гидродинамики сейчас интенсивно развивается, и количество работ, ему посвященных, растет из года в год. Внимание исследователей здесь привлекает, с одной стороны, трудность и новизна проблем и, с другой, — то, что многие из этих проблем возникают из запросов техники сегодняшнего дня — движение судов на подводных крыльях, поиски нового типа тяговой силы, быстро меняющиеся процессы (в том числе взрывы в атмосфере и воде), изучение и использование природных явлений и т. д. и т. п.

В этой главе мы коснемся лишь некоторых из очень широкого круга проблем, связанных с неустановившимися движениями. В следующих главах проблемы этого круга также будут занимать значительное место.

Постановка задачи

Общая постановка задачи о неустановившемся движении несжимаемой жидкости такова.

В начальный момент времени, скажем, t = 0, задана пространственная область D, заполненная жидкостью, и пусть известно распределение скоростей в этот момент, требуется определить дальнейшее движение жидкости.

Эта постановка, однако, очень неопределенна и нуждается в упрощающих и конкретизирующих предположениях. Наиболее общими упрощающими предположениями являются предположения об отсутствии вязкости и потенциальности движения. Рассмотрим их несколько подробнее.

Потенциальные движения

Естественно возникает следующий вопрос: если в начальный момент t — О движение идеальной несжимаемой жидкости является потенциальным, то будет ли оно оставаться таким же во все время движения?

На этот вопрос можно ответить утвердительно, если предположить еще, что жидкость находится в потенциальном поле внешних сил F. В самом деле, возьмем произвольный жидкий замкнутый контур Lu который будем считать заданным параметрически уравнением r — r(s, t), где г — (х, у, z)—радиус-вектор, а параметр s в любой момент времени t меняется на отрезке [О, 1]. Производная по времени от циркуляции вектора скорости вдоль Lt

вдоль контура Lt и в силу замкнутости последнего равен нулю. Таким образом,

а так как в силу уравнений движения

где согласно сделанным предположениям F имеет потенциал, ар — постоянная, то интеграл в правой части

а так как

в начальный момент у нас Г = 0, то и все время Г = 0— отсюда и следует потенциальность движения.

— потенциал скоростей в этот момент. Будем еще считать, что Dt имеет свободную границу—поверхность St. Условие постоянства давления на этой поверхности приводит к соотношению, которое выполняется всюду на St:

значение qp изменится на величину

значение

в этой области.

в любой момент времени t.

. В начальный момент времени t = 0 свободная поверхность имеет вид кривой (0) рис. 99, которая соединяет точки, отмеченные 0 и 1. Потенциал скоростей на свободной поверхности в начальный момент принимается равным х, а внутри жидкости вычисляется как решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее услот виям непроницаемости на стенках бассейна.

На рис. 99 скопирован выданный машиной бланк, на котором кроме начального положения свободной поверхности приведены точки, полученные в результате расчета для момента t = 0,244 — они отмечены цифрами 2

и 3 и соединены кривой (1). На этот же рисунок с других бланков снесены кривые (2), (3), ..., (8), соединяющие расчетные точки и указывающие положения свободной поверхности в моменты времени 0,488; 0,732; ... ...; 1,951.

Задача формально решалась как пространственная (с осью х3, перпендикулярной плоскости рисунка), но так как от хг ничего не зависит, она по существу является плоской. На рис. 99 изображены сечения плоскостями хг = 0 (точки с индексом 0 на кривой (0) и с индексом 2 на кривой (1)) и х3 — 0,146 (точки с индексом 1 на кривой (0) и с индексом 3 на кривой (1)). Точки не совпадают из-за того, что в качестве узлов разностной схемы бралась шахматная сетка, но соответствующие точки лежат на одной кривой.

Этот расчет дает основание полагать, что описанная выше схема приближенного решения задачи о неустановившемся движении жидкости устойчива.