Задачи со свободными границами

Класс задач о неустановившихся потенциальных движениях идеальной жидкости со свободными границами достаточно широк. К нему относится, в частности, знаменитая задача Ко-ши — Пуассона о волнах, которые распространяются на поверхности водоема в результате действия какого-либо возмущения первоначально покоящейся воды. Хотя эта задача математически поставлена около 150 лет назад, ее полного решения до сих пор еще нет. До недавнего времени были известны лишь многочисленные приближенные теории и некоторые точные решения довольно специального характера.

В последние годы в Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР под руководством Л. В. Овсянникова были разработаны методы, позволившие несколько продвинуть теорию. Мы хотим здесь дать представление об этих методах.

— гармоническая функция пространственных координат r=(х, у, z). Поэтому задача формулируется так:

гармоническую по г в области Dt, так, чтобы при всех t > 0 на St выполнялись соотношения

а при t = 0 было бы

Здесь градиент, как всегда, берется по пространственным координатам, Ф = Ф(r, t) обозначает потенциал внешних сил и считается заданной функцией, функция p(t) (давление на свободной границе) также считается известной. Во втором уравнении п — единичный вектор внешней нормали к поверхности St, a Vn — скорость перемещения этой поверхности в направлении ее нормали. Если St задается уравнением z = f(x, у, z), то как мы показали в гл. I (см. формулу (28) § 1), условие (6) можно переписать в виде

Напомним еще, что если в состав границы St входят непроницаемые поверхности, то на них условие (5) не ставится, и остается одно лишь условие (6), но зато форма таких поверхностей считается известной во все время движения.

  Даже в случае установившегося движения решение этой задачи наталкивается на трудности, о которых мы говорили в предыдущих главах (см. § 20 в связи с плоской постановкой и § 24 — в связи с пространственной).

Подход к ее решению, предложенный Л. В. Овсянниковым, в общих чертах состоит в следующем. Допустим, что нам известна свободная поверхность St, задаваемая уравнением z = f(x, у, t), а также значение потенциала  на  этой  поверхности,  т.  е. функция

, которая на St принимает значение g,

соотношениям

где z — f(x, у, t), а при t = 0 — начальным условиям f(x, у, 0)=f0(x, у),  g(x, у, 0) = gQ(x, у), (11)

где fо и go — заданные функции, а точка (х, у) пробегает всю плоскость.

отношениеограничено; верхнюю грань

обозначают сумму верхних граней в D модулей функции f и ее частных производных до порядка k включительно, а также коэффициентов Гёльдера этих производных (предполагается, что последние существуют и непрерывны). Для функций, которые обладают в D частными производными всех порядков, вводят величину

обозначают множество всех функций f, для которых величина (12) конечна.

зависят от t аналитически.

Этот класс оказался удобным для исследования задачи Коши — Пуассона; В. И. Налимов (ученик Л. В. Овсянникова) доказал следующую теорему [3]:

Таким образом, разрешимость задачи Коши — Пуассона в классе аналитических поверхностей St с уравнением вида z = f(x,y,t) установлена лишь для начальных отрезков времени. Как мы сейчас увидим, это ограничение, по-видимому, связано с существом дела.