Вариационные принципы

Мы уже отмечали, что в случае произвольных пространственных слоев вариационный принцип в обычной гидродинамической постановке несправедлив: продавливание обтекаемой поверхности в форме тонкого холма, сплюснутого по направлению течения, может привести лишь к раздвиганию линий тока без увеличения скорости на противоположной стенке. Если, однако, ограничиться движениями в слоях, удовлетворяющих условию (А) и имеющих фиксированную скорость в бесконечности, параллельную оси х, и предположить еще, что вариации поверхностей не выводят из рассматриваемого класса, то принцип останется справедливым в следующей форме:

меньше скорости течения в D. Для областей рассматриваемого класса справедлив также принцип локализации, по которому при локальной вариации границы слоя величина вариации скорости убывает по закону

—объем, заключенный между исходной и про-варьированной границей.

Доказательство этого утверждения получается при помощи вариационного принципа, сформулированного выше. Для его применения достаточно мажорировать рассматриваемый слой таким, течение в котором описывается элементарными функциями (см. § 24).

Течения в узких слоях. Принцип локализации позволяет строить приближенные решения пространственной задачи обтекания, достаточно точные для практических приложений. Общая схема построения примерно такая же, как в плоском и осесимметрическом случае.

Пусть дана пространственная область D = {0 < z < z(х, у)} типа слоя, удовлетворяющая условию (А), и нам нужно изучить течение в окрестности U какой-либо точки (х0, yо)- Вне этой окрестности мы будем считать все линии тока близкими к параллелям оси х и, учитывая, что слой D — узкий, воспользуемся гидравлическим приближением, в котором предполагается, что величина V и направление а скорости постоянны на каждом вертикальном отрезке, заключенном в D. Это упрощение приведет нас к плоской задаче

где z = z(x,y) — уравнение границы слоя Г (уравнения (6) представляют собой запись условий потенциальности и неразрывности в наших предположениях). Система (6) решается простым интегрированием—сначала находим а из второго уравнения, затем результат подставляем в первое:

(мы воспользовались

)

В интересующей нас окрестности U мы будем пользоваться другими идеями. Именно, на основании принципа локализации, мы заменим в этой окрестности заданную поверхность Г поверхностью Г: z = z(x, у), близкой к Г и такой, что в слое между z — 0 и Г течение описывается элементарными функциями. Близость Г к Г мы обеспечим условием, что эти поверхности имеют в точке (х0, y0, z(x0, y0)) соприкосновение достаточно высокого порядка (условие совпадения достаточного количества коэффициентов тейлоровского разложения функций z{x,y) и z(x,y) в рассматриваемой точке). Запас

поверхностей Г с известными течениями нам дает метод источников, который был изложен в § 24, — решение (6) § 24 содержит лишь два параметра (q и а), что дает лишь грубое приближение, но более общая формула (9) § 24 позволяет в принципе получить элементарное решение с любым числом параметров.

Подробнее с описанным методом можно ознакомиться по работе М. А. Лаврентьева 17].

Отметим еще некоторые постановки, связанные с движением жидкости в узких слоях {zo (х, у) < z < z(x, у)}. Прежде всего нужно получить приближенные уравнения для поля скоростей с учетом узости слоя, обобщающие и уточняющие уравнения (6). Эти уравнения должны связывать производные по переменным х и у от величины V и направления а вектора скорости течения на нижней границе слоя и представлять собой линейную неоднородную систему двух уравнений с частными производными первого порядка с коэффициентами и свободными членами, зависящими от уравнений границ слоя.

Далее, желательно получить закон изменения поля скоростей при переходе от нижней границы слоя к верхней, а также изучить влияние локальной деформации границ на расстояниях от места деформации, значительно превышающих ширину слоя.

Задачи со свободной границей. Свободной границей пространственного течения называется поверхность, на которой давление всюду постоянно, а по интегралу Бер-нулли постоянна и величина скорости. Здесь мы отметим несколько особенностей, отличающих пространственный случай от плоского.

В пространственных задачах свободные границы являются поверхностями, составленными из линий тока. Возникает естественный вопрос о том, какие геометрические свойства отличают линии тока на свободных поверхностях? Ответ на него оказывается простым: на любой свободной поверхности линии тока являются геодезическими. В самом деле, для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости из уравнений движения видно, что ускорение движущихся частиц пропорционально градиенту давления:

Отсюда следует, что на свободных границах, которые являются поверхностями уровня давления, вектор ускорения направлен по нормали к поверхности. Но вектор ускорения, очевидно, идет по главной нормали к линии тока, поэтому в каждой точке линии тока ее соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к свободной поверхности. Это и показывает, что линия тока — геодезическая.

Дальнейшие наши замечания относятся к трудностям, связанным со следующей задачей, которая представляет собой пространственный аналог задачи о волнах:

Дана нижняя граничная поверхность Го области D типа слоя и требуется найти верхнюю граничную поверхность Г из условия, что на ней величина скорости течения постоянна. Скорость в бесконечности считается заданной и направленной вдоль оси х; задается также средняя глубина водоема, которую по аналогии с плоским случаем можно определить как

где z = z(x,y) — уравнение свободной поверхности Г.

Но это решение неединственно. Об одном типе нарушения единственности мы уже говорили выше в примере с тонким ножом, плоскость лезвия которого идет по направлению поступательного потока: такой нож ничего не меняет в потоке, поэтому наряду с плоскостью решением поставленной задачи будут и кусочно гладкие поверхности, составленные из плоскости z — Н и, например, кусков плоскостей, параллельных оси х (очевидно, что такие куски не меняют и средней глубины водоема).

Простейшим из таких условий

асимптотически приближались к параллельным плоскостям (т. е. чтобы слой D при больших отрицательных х был почти плоским слоем).

Но трудности, связанные с пространственным случаем, этим не исчерпываются. Асимптотические условия

которые обеспечивают единственность, еще не гарантируют устойчивости решения, а отсутствие устойчивости сильно затрудняет, скажем, приближенный машинный счет. Приведем соответствующий пример.

Рассмотрим слой, ограниченный плоскостью Го: Z=0 и поверхностью Г

асимптотически стремится к плоскости 2=1; так как

(рис. 75).

условие обтекания поверхности Г записывается в виде

—производная по направлению нормали к Г,

. На других гранях тела

= 0, а на четвертой (Г) она принимает значения

сколь угодно близка к 1.

(в точках с большими х и у — 0). Это и означает неустойчивость решения задачи. Подчеркнем, что пример отражает особенности пространственного случая: на плоскости аналогичная конструкция не осуществима и задача оказывается устойчивой.

Рассмотренный пример показывает, что при построении решения задачи со свободной границей нужно заранее выделить класс областей, для которого имели бы место и существование, и единственность, и устойчивость. Приведем условия, по-видимому, достаточные для обеспечения всех трех требований. Пусть задано малое число h и поверхность Го совпадает с плоскостью z = 0

где а и Ъ — величиныпорядков, соответственно h и h2; внутри эллипса Го пусть задается уравнением z — 20(х, у), где

причем функции z = z0(с1, y) и z = z0(x, с2) четны и имеют единственный максимум при у = 0 и х = 0.

В этих условиях существует единственная поверхность Г: z = z(х, у)

то

сколь угодно мало.

Сформулированные утверждения, вероятно, можно доказать, используя приведенные выше методы. Представляет интерес подробное их обоснование и выяснение возможности расширения принятых выше условий.

Две задачи. Сформулируем еще две задачи со свободной границей, имеющие существенно пространственный характер. Первая из них относится к нелинейной теории волн в тяжелой жидкости. Общая постановка задачи такова.

Требуется найти поверхность Г: z = z(x,y) так, чтобы при движении жидкости в слое {0 < z < z (х, у)} всюду на Г выполнялось соотношение

и С — постоянные. Считается заданной скорость на бесконечности и средняя глубина водоема.

Из сказанного выше ясно, что в такой общей постановке эта задача также неопределенна, как предыдущая, и ее решение также неустойчиво. Приведем постановку, по-видимому, свободную от этих недостатков.

поэтому, выбрав систему коорди-

нат, движущуюся вдоль оси х с этой скоростью, мы получим неподвижную волновую поверхность, которая дает решение задачи в линейной постановке. Если за амплитуду волны принять число 2а, за период

и за среднюю глубину водоема Н, то уравнением этой поверхности будет

существует решение нелинейной задачи

(16), близкое к решению (17) в линейной постановке. Выяснить класс поверхностей, в котором имеет место

единственность и устойчивость решения.

Вторая задача представляет собой пространственный вариант классической задачи Кирхгофа об обтекании со срывом струй.

, равной 1 и направленной вдоль оси х, область которого ограничена наклонной эллиптической

и неиз-

вестной поверхностью Г, вдоль которой скорость равна 1 (Г примыкает к границе пластинки, см. рис. 76).

Здесь не вполне ясны вопросы единственности и устойчивости. Представляет интерес даже изучение случая, когда пластинка вертикальна (а = 0) и близка к круговой (число b мало).