Вариационные принципы

Эти богатые как математическими, так и механическими "приложениями принципы показывают, как меняются конформные (или квазиконформные) отображения при малом изменении отображаемых областей.

и  f — ее

мы

обозначим линию уровня о, т. е. кривую, переходящую при отображении f в прямую v = h.

с той же нормировкой, то произойдет следующее (рис. 31):

2) в любой точке г0 линии Го растяжение возрастет, т. е.

3) во всех точках го линии Г, которые остались не- деформированными (если такие есть), растяжение уменьшится:

(при этом знак равенства в (1) и (2) достигается только при отсутствии деформации);

— та- кие точки, то

Принцип допускает простую механическую трактовку: при вдавливании одной стенки канала все линии тока прижимаются к противоположной стенке, скорости течения в точках недеформированной стенки и в точках наибольшей деформации возрастут, а в точках первой стенки, оставшихся недеформированными, уменьшатся.

и в точках Г, оставшихся недеформированными, имеем v — v, а в точках Г, отличающихся от Г, у нас v — 1, a v < 1. Таким образом, всюду на границе В, а значит, и в этой области

Доказательство 4) основано на той же идее, но требует некоторых дополнительных построений (см. Л. и Ш., стр. 357).

В такой качественной постановке принцип можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат и имеют вид

В частности, мы получим тогда, что описанный выше закон изменения линий тока и скоростей течения в канале при деформации его стенки полностью распространяется на газовые потоки со скоростью, нигде не достигающей скорости звука.

в том

смысле, что ее нижняя граница Го совпадает с осью х, а верхняя Г имеет уравнение

(для приложений

Приближенно

Для локальной ва-

:

вниз, и отрицательной, — если вверх.

области, близкой

к этой полосе:

Эта формула дает возможность количественно оценить, насколько сдвигаются линии тока при нашей деформации контура. Дифференцируя ее, получим формулу

по которой можно оценить, насколько при деформации меняются скорости.

где k > 0 — некоторая постоянная, а d—расстояние от проварьированного участка.

Это утверждение называют принципом локализации. Для простейшего случая прямолинейной полосы оно вытекает непосредственно из формул (7) и (8); оно имеет место и для произвольных гладких областей типа полосы, причем постоянная k в общем случае зависит от геометрических свойств полосы (точнее, от постоянных, оценивающих снизу и сверху ширину полосы, а также от верхних оценок для наклона и кривизны ее границ).

Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно получить и для квазиконформных отображений, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем вида (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие сильную эллиптичность системы. Они получаются значительно сложнее, чем в случае конформных отображений, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя.

Отметим, что принцип локализации, по которому влияние локальных вариаций сильно убывает по мере удаления от места вариации, также распространяется на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем.

при этом отображении; в частности, Г1 = Г —граница отображаемой области D (рис. 32).

,

Отправляясь от формулы (7) § 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ

где е достаточно мало. Тог-

задается формулой

эту формулу можно записать в виде

—площадь, заключенная между границами Г и Г. Из нее получается принцип локализации в следующей форме: вблизи места вариации вариация конформного отображения пропорциональна про-варьированной площади и обратно пропорциональна расстоянию до этого места.

Вариационный принцип и его количественные уточнения, а также принцип локализации можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5).

Граничные производные. При изучении движений жидкости и газа наиболее интересным является определение скорости вблизи границы области течения у обтекаемых тел. Поэтому для приложений особенно важно знать поведение модуля производной отображения на границе отображаемой области. Мы приведем здесь некоторые факты, относящиеся к этому вопросу.

Доказательство этих утверждений можно

найти в книге Г. М. Г о л у з и н а [1].

Отсюда, в частности, следует, что, если на границе области течения есть угол, направленный в сторону течения, где 1 < а < 2 (как в точке A4 на рис. 33), то в этой точке скорость течения бесконечна. В углах, направленных от течения, где 0 < а < 1 (как в точке А2 на рис. 33), скорость течения равна нулю.

близкой к полосе, на полосу. Нам удобнее рассматривать обратное к f отображение g; с той же точностью, что и в формуле (7), его можно представить в виде

а его производную в виде

=

следовательно, подынтегральная

функция при t = и обращается в бесконечность второго порядка, интеграл расходится и формула (15) на прямой v = 1 неприменима.

Формулу для граничной производной можно получить, если воспользоваться понятием главного значения интеграла, т. е. понимать интеграл по оси х от функции Ф, обращающейся в бесконечность в некоторой точке а, а в остальном непрерывной, как

(здесь существенна симметричность пределов интегрирования). В этом смысле, очевидно,

и поэтому формулу (14) при w — и -|- i можно переписать в виде

мы воспользовались соотношением

(16), находим нужное выражение для граничной производной

при t — и имеет нуль не ниже первого порядка.

Аналогичные формулы, также содержащие интегралы в смысле главных значений, можно получить для граничных производных конформных отображений на другие канонические области.

и запишем приближенное выражение функции, обратной к отображающей:

получим параметрические уравнения границы полосы D:

Коэффициенты разложения (18) мы найдем, приравнивая значения функции у и первых двух производных

при и — О известным значениям

Обозначив а — Зсh2=A,

  откуда модуль искомой граничной производной

справедливым для малых а). С той же точностью

Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться.

Сильно эллиптические системы

Мы уже отмечали, что вариационный принцип и принцип локализации рас-пространяются на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем вида (5):

(такое растяжение — аналог модуля граничной производной). При этом предполагается, что ширина полосы D заключена между некоторыми положительными постоянными и что тангенс угла наклона ее границ и их кривизна также ограничены. В оценку рраничного растяжения входят геометрические свойства полосы (границы для ее ширины, наклона и кривизны), а также постоянные k1 и k2, характеризующие сильную эллиптичность системы:

Пользуясь этими оценками, можно доказать такую теорему существования (см. М. А. Лаврентьев [4], гл. VI).

достаточно мала.

Эта теорема доказывает, в частности, существование в полосе D установившегося течения идеального газа, если расход достаточно мал. При увеличении расхода такое течение будет существовать до тех пор, пока его скорость в какой-либо точке границы не достигнет скорости звука.