Равновесия в жидких средах

К числу мало изученных относится значительный цикл задач гидродинамики и механики твердого тела, связанных с проблемой устойчивости в жидких средах. Здесь мы рассмотрим несколько примеров таких задач.

Ртуть над водой. Начнем с простейшего явления. Представим себе, что в сосуде, наполненном водой, над поверхностью  воды  расположен  тонкий слой ртути (рис. 139). Если поверхности воды и ртути — идеальные плоскости, то ртуть будет в равновесии, однако очевидно, что это равновесие неустойчиво. Ставится вопрос о механизме проникания ртути через воду на дно.

Физически описанное явление можно реализовать еще так: на дно закрытого стакана налить ртуть, а сверху нее — воду. Это равновесие устойчиво, но оно потеряет устойчивость, если сообщить стакану ускоренное движение вниз, с ускорением в 2—5 раз больше g.

Механизм этого явления был осознан несколько лет тому назад за рубежом и у нас. Приведем качественный ответ на поставленный вопрос и его принципиальное обоснование. Займемся сначала более простой моделью, когда толщина слоя ртути равна или больше диаметра стакана. Здесь довольно очевидно, что если вследствие случайной асимметрии в каком-то месте нижней поверхности ртути появится бугорок, то этот бугорок будет расти и он образует в воде воронку, по которой вся ртуть стечет вниз. Последовательные положения ртути и воды в этой постановке можно построить графоаналитическим методом.

В основной постановке, когда толщина слоя ртути мала сравнительно с диаметром стакана, процесс потери устойчивости и проливания ртути вниз может начаться в любой точке поверхности воды. Но влияние этого процесса будет затухать по мере удаления от места слива по закону

— толщина слоя ртути и г — расстояние рассматриваемой точки от точки слива.

Таким образом, части ртути, расположенные от точки начавшегося слива на расстоянии более нескольких толщин слоя ртути, будут мало реагировать на начало процесса. Для этих частей найдется более близкий бугорок, где организуется новый слив.

Поэтому при малой толщине слоя ртути ртуть устремится вниз по многим струйкам, расположенным друг от друга на расстоянии порядка б (рис. 139).

В эту модель укладывается одно любопытное явление, наблюдаемое при определенных условиях при подводном взрыве. После взрыва под водой над гладкой поверхностью воды появляется группа фонтанчиков, расположенных друг от друга на одинаковых расстояниях. Дело в том, что когда ударная волна в воде подходит к поверхности, то при разгрузке слой воды стремится оторваться от основной массы. Если при этом потенциальная энергия сжатия не достаточна для того, чтобы оторвать слой жидкости от ее основной массы, то мы окажемся в условиях, сходных с условиями ртути на воде, — вместо отрыва получается система фонтанчиков.

Аналогичное явление можно наблюдать и в металле, когда ударная волна подходит к его свободной поверхности. Будет или не будет иметь место описанное явление, зависит от ряда факторов — длины ударной волны, кривизны фронта, прочности на разрыв среды и др.

которое дальше меняется по закону

Требуется найти дальнейшее движение свободной поверхности.

Если толщина слоя h мала по сравнению с длиной волны возмущения, то уравнения движения можно заменить приближенными точно так, как это сделано в гл. I для задачи о мелкой воде. Различие будет лишь в том, что ускорение силы тяжести g во всех соотношениях заменится на —а (в рассматриваемой здесь задаче ускорение  направлено  вверх).  В  частности, для свободной поверхности жидкости получится уравнение

. Поэтому амплитуда колебаний (2) неограниченно возрастает и движение оказывается неустойчивым.

. В действительности же очень

Эту величину и следует считать характерным расстоянием между фонтанчиками в рассмотренных здесь явлениях; расчеты [6] дают для нее приближенную формулу

— коэффициент поверхностного натяжения, а р — плотность жидкости.