Динамическая постановка

При изучении действия взрыва на стержни и оболочки были обнаружены формы потери устойчивости, которые не укладываются в разобранную статическую схему [4]. Представим себе следующий эксперимент.

Пусть имеется стержень, расположенный вертикально и закрепленный так же, как в предыдущей задаче. Мы предположим, что разрушение стержня наступает при малых деформациях, когда еще применима линейная теория. Пусть сверху к стержню мгновенно прилагается вертикальная сила F, величина которой в несколько раз превышает эйлерову силу FKp. Нужно выяснить, как будет происходить потеря устойчивости стержня и его разрушение.

Как мы видели выше, в схеме статического нагру-жения стержень разламывается на два куска. Опыт показывает, что в принятых здесь условиях стержень разламывается на несколько кусков, число которых зависит от отношения F/Fкр. Нашей задачей является выяснение движения стержня в начальный отрезок времени и определение числа кусков, на которые он разламывается.

Как известно, уравнение малых движений стержня описывается дифференциальным уравнением

где р — плотность материала и 5 — площадь поперечного сечения стержня; функция f определяется начальным искривлением, поперечной нагрузкой и т. п.

то при подстановке (10) в это уравнение мы получим систему обыкновенных уравнений

Величина qu представляет собой амплитуду той гармоники

которой соответствует изгиб стержня по синусоиде с k полуволнами.

закон изменения qk(t) — синусоидальный, поэтому соответствующие гармоники yk(t) имеют ограниченную амплитуду и не дают потери устойчивости. При k2 < п, напротив, решения уравнения (11) имеют непериодический характер:

С течением вре-

Естественно ожидать, что если стержень не выдержит нагрузки и сломается, то число изломов будет равно именно этому числу.

К тому же выводу можно прийти и из энергетических соображений. Существует принцип, согласно которому движение консервативной механической системы осуществляется так, чтобы в каждый данный момент ее полная потенциальная энергия была возможно меньшей. (Скажем, в примере, которым начиналась глава, шарик скатывается по желобку на сферической поверхности, если такой желобок есть.)

Подсчитаем полную потенциальную энергию стержня в нашей задаче. Она составляется из энергии упругого изгиба стержня

—смещение верхнего конца

стержня по вертикали. Предполагая стержень нерастяжимым и обозначая через /о его длину, а через / — проекцию его верхнего конца на ось х, будем иметь

Отсюда с учетом формул (12) получаем выражение полной потенциальной энергии для гармоники (13):

Мы видим, что минимальное значение П достигается для той гармоники уk, номер которой равен ближайшему целому к числу (16), т. е. той самой гармонике, которая дает наибольшую неустойчивость.

Таким образом, мы двумя способами пришли к одному и тому же выводу: когда к стержню мгновение

  или ближайшему целому числу; если стержень при этом разрушается, то число изломов также оказывается равным этом числу.

Интересно отметить, что аналогичный результат наблюдается при мгновенном нагружении тонкостенной трубки, когда эта трубка подвергается внешнему давлению. Так же, как в случае стержня, имеется критическое давление FHp такое, что если внешнее давление на трубку меньше критического, то трубка устойчива; если сжать ее в пределах упругости, то при снятии сжимающей силы она вернется в прежнее состояние. Если же давление превысит критическое, то трубка потеряет устойчивость в прежнем смысле. Если нагрузка будет в п раз больше критической, то мы получим деформацию с количеством волн порядка Уп.

Наиболее яркий пример динамической неустойчивости дает следующий опыт. Если тонкостенную трубку с заделанными концами погрузить в воду, а затем вблизи нижнего конца произвести взрыв, то трубка будет обжата так, что ее сечение будет волнистым с наибольшим количеством волн вблизи заряда (рис. 138).

Хотя за последние 20 лет проблема динамической устойчивости значительно продвинулась, все же здесь осталось еще много нерешенных задач: динамическая устойчивость труб при осевой нагрузке, динамическая неустойчивость сферических оболочек и многие другие.