Динамическая неустойчивость

Простейшее представление об устойчивости и неустойчивости механических систем дает известный пример с тяжелым шариком на сферической поверхности или на плоскости — в зависимости от характера изменения потенциальной энергии шарика здесь различают случай устойчивого, неустойчивого или безразличного равновесия.

Если на поверхности сферы имеется небольшая вмятина, как на рис. 134, а, то при малых смещениях (в линейной постановке задачи о равновесии) мы будем иметь

устойчивость, а при больших смещениях (в нелинейной постановке задачи) получим неустойчивость. Рис. 134, б иллюстрирует динамическую потерю устойчивости — на поверхности сферы здесь имеется желобок, и наиболее вероятен случай, что шарик будет скатываться вниз именно по желобку; в этом случае скорость убывания потенциальной энергии будет больше, чем при движении в других направлениях.

В этой главе мы рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к изучению динамических форм потери устойчивости механических систем. Начнем со случая стержней.

Неустойчивость стержней Статическая и динамическая потери устойчивости.

Простейший эксперимент, поясняющий различие между этими двумя формами потери устойчивости стержней, можно поставить так. Пусть стержень (т. е. упругая тонкая полоса) расположен вертикально, его нижний конец закреплен в твердом основании, а сверху на него действует не слишком большая вертикальная сила F (рис. 135). Если стержень немного отклонить от вертикального положения и затем отпустить, то он будет совершать затухающие колебания вокруг положения равновесия и через некоторое время вернется в это положение. Мы имеем случай устойчивого равновесия.

Будем теперь постепенно увеличивать силу F. С ростом F частота колебаний уменьшается, и при некотором значении F = fKp частота обратится в нуль — стержень будет находиться в состоянии безразличного равновесия. При дальнейшем увеличении силы F равновесие становится неустойчивым: после любых отклонений стержень изгибается и не возвращается в вертикальное положение.

Величина критической силы FKV, при которой равновесие перестает быть устойчивым, зависит от формы, размеров и упругих свойств стержня, а также от условий его закрепления (граничных условий). Описанный выше процесс потери устойчивости, при котором величина нагрузки постепенно увеличивается до тех пор, пока она не достигнет критического значения, называется статической потерей устойчивости.

Иначе ставится эксперимент по динамической потере устойчивости. Здесь в некоторый момент времени стержень немного изгибается, и к нему сразу прикладывается вертикальная сила, величина которой превышает критическую. Оказывается, что в этой постановке потеря устойчивости происходит иначе, чем при статическом нагружении. Ниже мы рассмотрим это различие подробнее.

В механике упругих тел большинство изученных задач относится к случаю статической устойчивости. Наиболее классическая из таких задач была решена Л. Эйлером еще в 1744 году.

Задача Эйлера. Пусть концы стержня закреплены шарнирно, причем нижний шарнир неподвижен, а верхний может перемещаться вертикально; к верхнему концу прикладывается вертикальная сила F (рис. 136). Предположим, что сечения стержня одинаковы, длина его равна /, момент инерции / и модуль Юнга Е.

и мы получаем уравнение равновесия в виде

при у < 0 и наоборот).

Общее решение уравнения (1) имеет вид

  где А и В — произвольные постоянные, а

Условие шарнирного закрепления концов приводит к граничным условиям

из которых следует, что В = 0 и

, то из (5) следует, что А = О, т. е.

ко-

торое переписывается в виде

(п — произвольное целое число), кроме тривиального, возможны еще решения вида

Мы получаем спектр собственных значений (6) величины F , каждому из которых соответствует искривленная равновесная форма стержня (7). Критической силой естественно считать ту, при которой перестает быть устойчивой первоначальная прямолинейная форма стержня. Очевидно, эта сила соответствует значению п = 1 и равна

она называется эйлеровой силой. При медленном возрастании нагрузки F потеря устойчивости происходит при этом значении FKp- Стержень при этом изогнется в форме одной полуволны синусоиды, и если произойдет излом, то стержень распадется на два куска.

,  и задача становится нелинейной. Исследование устойчивости в нелинейной постановке также возможно, оно дает и конкретные результаты, но основные выводы остаются примерно теми же, что и в линейной  постановке.  На  конгрессе  механиков в

Калифорнии (1968 г.) этим проблемам был посвящен обзорный доклад французского ученого Л. Готье).