
	Меню сайта

Предыдущая | Содержание | следующая

Проблемы гидромеханники

Общая характеристика волноводов

Волноводный характер распространения звука, упругих волн, радиоволн и т. п. в неоднородных средах без диссипации энергии имеет общую математическую природу, которую, следуя Р. М. Гарипову [10], можно описать так.

Предполагается, что процесс распространения волн описывается уравнением (7), в котором оператор К действует на функции только пространственных переменных. Этот оператор в подходящим образом выбранном гильбертовом пространстве является симметричным и положительным, что влечет за собой закон сохранения энергии. В ряде задач допустима приближенная постановка, в которой этот оператор можно считать дифференциальным. Для определенности в дальнейшем мы будем говорить о волнах на воде.

Примем дополнительно условие однородности волновода: уравнение (7) инвариантно относительно сдвигов по координате у, а дно бассейна имеет уравнение вида h = h(x) (так что речь идет об инвариантности относительно сдвигов вдоль неровностей дна).

При этом условии можно искать частные решения уравнения (7) в виде

Подставляя это в (7) и пользуясь тем, что оператор К действует лишь на пространственные переменные, мы получим соотношение

являются функциями также параметра v), то рассматриваемая неровность дна служит волноводом.

Решение (9) представляет собой прогрессивную волну, которая бежит над подводным возвышением и затухает по мере удаления от него в перпендикулярном направлении. Умножая его на произвольную функцию от v и интегрируя по v, мы получим неустановившуюся волну, распространяющуюся параллельно оси у, энергия которой локализована в полоске, параллельной этой оси.

волновод постепенно пропадает.

Заметим, что условие однородности не является ограничением по существу, а введено лишь для упрощения рассуждений. Естественно ожидать, что решения типа (9), дающие волновод, существуют и в более общем случае, когда возвышение дна бассейна локализовано в полосе ограниченной ширины, уходящей на бесконечность.

Следует сказать, что волны типа (9), бегущие вдоль плоского наклонного берега, были найдены еще Стоксом и изучены рядом авторов, см. [11]. Наши рассуждения справедливы и в случае уступа вдоль вертикального берега, который тоже может служить волноводом.

в (9) получаем следующее уравнение:

Этот оператор зависит от параметра v и формы дна z = —h(x); чтобы отметить последнее, мы будем писать А = A(h).

оператора А. Для простоты предположим еще, что дно водоема — достаточно гладкая поверхность, а также что h(x) — 1 вне некоторого конечного интервала (рис. 116).

Лемма. Оператор В = A{h) — Л(1) вполне непрерывен.

обращается в нуль на границе z=0

причем носитель этой неодно-

Пользуясь еще локальностью эллиптических

задач, получим

Отсюда и следует утверждение леммы.

на пересечении единичной сферы с областью его определения DA и 2) непрерывные спектры операторов A (h) и A(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое).

Найдем спектр оператора A(1). Для этого удобно воспользоваться преобразованием Фурье

Так как оператор А(1) инвариантен относительно сдвига, то его преобразование Фурье А() = FA(1)F~l есть оператор умножения на функцию. Легко вычислить

. Поскольку A(1) и А() унитарно эквивалентны, то их спектры совпадают.

оператор Л может

иметь лишь изолированные собственные значения конечной кратности. Поэтому условие

этого оператора.

Наша цель — доказать достаточность условия (2). Для этого преобразуем выражение функционала

мы можем считать, что этот интеграл берется по всей границе дD. Тогда, применяя формулу Грина, будем иметь

и учитывая уравнение (12),

Уравнение (12) является уравнением Эйлера для функционала Т, следовательно, на множестве функций

функционал Т принимает минимальное значение на решении этого уравнения (см., например, [12]). Вычислим значение Т на функции

Тогда будем иметь

и тогда условие (13) будет выполнено. Тем самым достаточность условия (2) для существования волновода доказана.

В приведенных выше рассуждениях тот факт, что дно однозначно проектируется на плоскость z = —1, является несущественным. Поэтому доказанный достаточный признак волновода можно сформулировать так: дно совпадает с горизонтальной плоскостью вне некоторой полосы, а минимальная глубина меньше, чем глубина над плоским участком дна (следует добавить еще некоторые условия гладкости дна).

и поэтому не принадлежит пространству L2(R2), в котором действует оператор К). Обобщенная собственная функция быстро убывает в направлении, перпендикулярном волноводу. В случае неоднородного волновода тоже должны существовать обобщенные собственные функции оператора К, обладающие этим свойством. Но это пока никем не доказано.

также можно считать действительными.

стремится к нижней границе непрерывного

являются нечетными функциями.

Мы хотим получить асимптотическое разложение волн, распространяющихся вдоль волновода (над подводным хребтом). Для этого полезно заметить, что любое решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным и граничным условиям (5) и (6), можно представить в виде суммы

мы получим

)

. Интересно отметить, что энергия движения равна сумме энергий движений, описываемых отдельными слагаемыми в (15).

описывает волны, распространяющиеся во все стороны, мы его рассматривать не будем.

Ему соответствует группа волн с амплитудой

быстро убывает при возрастании Займемся асимптотикой этих води.

комплексно сопряжен с интегралом

(индекс k мы для краткости опускаем). Если мы будем двигаться вдоль оси у с постоянной скоростью с, так что у = ct, то задача сведется к асимптотической оценке при больших t интеграла

. Теперь воспользуемся выражением (14) и, внося дифференцирование под знак интеграла, найдем

которое получается дифференцированием (12) по v2, то предыдущее равенство можно переписать в виде

найдем окончательно

т. е. при

волны не затухают. В самом деле, в этом случае

(см. [14]).

(см., например, [13]).

имеет нуль порядка т, то этой точке соответствует группа еще более медленно затухающих волн,

, движущихся вдоль оси у

Тогда (см. [9])

определяется наиболее медленно затухающим слагаемым, причем если таких слагаемых несколько, то главные члены их асимптотических разложений не могут взаимно уничтожаться в силу отмеченной выше ортогональности.

от формы дна. Особенно простой характер она имеет для случая, когда подводный хребет представляет собой широкую ступеньку небольшой высоты, т. е. функция

Таким образом, влияние подводного хребта на распространение волн сводится не только к простому увеличению амплитуды, но существенным образом определяет сам процесс распространения волны, изменяя характер затухания ее вдоль хребта. Вдоль хребта могут распространяться медленно затухающие волны.

над которым находится слой жидкости постоянной глубины h (рис. 118).

В состоянии равновесия тензор упругих напряжений в земной коре имеет вид

—символ

— дивергенция поля

смещений (координаты х, у и z мы временно обозначили через Х, х2 и х3).

можно написать урав нения упругих колебаний:

когда в очаге землетрясения происходят активные геофизические процессы; мы считаем, что после этого она не зависит от времени и равна fo(x,y,z) (остаточная сила). На самом деле fо = 0, но она вводится, чтобы в рамках теории упругости учесть необратимые смещения коры, которые остаются после землетрясений, вследствие пластических деформаций.

Так как движение жидкости начинается из состояния покоя, то мы считаем его потенциальным, потенциальную функцию обозначим через Ф(x,y,z,t). Скорость жидкости grad Ф мы считаем малой. Давление внутри жидкости определяется по (линеаризированному) интегралу Коши — Лагранжа

где р — плотность жидкости.

на границе упругого полупростран-

ства мы считаем малыми и сносим их на плоскости равновесия, соответственно z = h и 2 = 0. На свободной поверхности жидкости согласно (5) будем иметь условие