Движение в твердом канале

Предположим, что в плоскости z = x+iy в момент времени t уж занимает положение отрезка кривой

где Z — известная комплексная функция действительного аргумента а, длины дуги Г, отсчитываемой от какой-либо ее точки (рис. 114).

, которая задает положение его хвоста в момент времени t; в самом деле, мы имеем

следовательно, уравнение его движения в канале можно записать в виде

где т — масса ужа, a Fe я Fi — соответственно внешние и внутренние силы, на него действующие. Суммарная внешняя сила Fe определяется трением ужа о стенки канала, и сначала мы предположим, что она равна нулю.

В соответствии с тем, что говорилось в предыдущем разделе, естественно считать, что внутренние силы, которые определяются мышечными усилиями ужа, пропорциональны производной кривизны линии Г в рассматриваемой точке. Поэтому мы предположим, что суммарная внутренняя сила

— функция, которую должен выбирать уж. Так как у нас Fe = 0, то Fi согласно уравнению (4) и есть тяговая сила ужа.

где / — неотрицательная возрастающая функция, которая определяет зависимость изгибающего усилия от напряжения мышц ужа.

так, чтобы величина тяговой силы Fi(t) была наибольшей. Эта задача под силу всякому ужу, который знаком с элементами вариационного исчисления— задача на экстремум функционала (5) при условии J(t) = J0.

Как и обычные задачи на условный экстремум, она решается методом множителей Лагранжа, т. е. сводится к отысканию обычного экстремума функционала

Теперь экстремальная функция должна удовлетворять соотношениям

Из первого уравнения этой системы мы находим

Усилия ужа найдены, и для отыскания его закона движения остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение (4).

мы получим из (5) и (6) соотношения

Из них можно найти суммарное усилие J, которое должен затратить уж, чтобы двигаться с заданной скоростью V.

Движение в воде. По-прежнему будем считать, что уж двигается в плоскости, которую примем за плоскость (х,у). Пусть в системе координат, движущейся вместе с центром тяжести ужа, его ось симметрии задается уравнением

у = у(х, t), (11)

представляет собой круг радиуса г (рис. 115).

Считая движение безвихревым, по теореме о количестве движения можно написать

где 5 — поверхность тела ужа, п — единичный вектор внешней нормали к ней, dS— элемент поверхности.

Вычислим компоненту пх вектора нормали; обозначая через а угол между этим вектором и осью у, а через р — угол между касательной и кривой (11) и осью х

будем, очевидно, иметь

невелик (что мы и предположим). Так как dS = r da dx, то из (12) получается, следовательно, что

рассматриваемый поток мало отличается от потока, обтекающего цилиндр радиуса г, который движется вдоль оси у со скоростью

(см. рис. 115). Тогда на поверхности 5 значение потенциала можно приближенно считать равным

Подставляя это значение в (13), получим

Далее предположим, что движение ужа имеет характер бегущей волны, т. е. что уравнение (11) представляется в виде

и после подстановки в (15) будем иметь

Введем еще обозначение

тогда для Vx будем иметь

. При движении ужа в канале вся полезная работа его мышц идет на создание поступательного движения.тела и работу против сил трения, а при движении в жидкости некоторая часть мышечной работы идет на сообщение кинетической энергии частицам жидкости. Таким образом, коэффициент полезного действия при движении ужа в твердом канале больше, чем при движении в жидкости. В рассмотренной здесь приближенной схеме движения этот коэффициент нетрудно подсчитать, см. Е. Н. Шер [6],