Пространственный случай

Имея в виду, например, образование кратеров при падении метеоритов на небесные тела, рассмотрим некоторую модификацию разобранной выше схемы. Именно, предположим, что летящее тело представляет собой шарик и что оно ударяется о полусферическую выемку радиуса R.

Для упрощения расчетов придется еще более схематизировать модель. Мы будем считать, что задача сводится к удару тонкого полусферического слоя о толстый, который по аналогии с одномерным случаем будем представлять как набор тонких полусферических слоев, расположенных бесконечно близко друг к другу (рис. 111). Предположим, что во всех слоях скорости направлены по радиусам и что распределение скоростей происходит по схеме идеальной несжимаемой жидкости: в точке, удаленной от центра слоя на расстояние г, скорость

где а — радиус внутренней выемки слоя-бойка и Vo — скорость этой выемки в момент соударения.

По аналогии с одномерным случаем будем считать, что в результате удара бойка в начальный период будет происходить наращивание его массы по схеме неупругих ударов, а кинетическая энергия системы переходить в тепло. Произведем расчеты, относящиеся к этому периоду, по-прежнему предполагая, что плотности бойка и среды, о которую он ударяется, равны 1.

Пусть ka (k > 1) будет внешний радиус поверхности бойка. Через U(r) мы обозначим скорость внутренней поверхности бойка в момент, когда эффект удара дойдет до полусферы радиуса г; очевидно, имеем

В силу принятого предположения о распределении скоростей, в этот момент скорость в точках, расположенных на расстоянии х от центра, будет равна

При изменении г на величину dr скорость поверхности бойка изменится на величину dU, причем в силу закона сохранения количества движения

Решая это дифференциальное уравнение при начальном условии (9), найдем

Формула (10) дает теперь распределение скоростей в полусферических слоях в рассматриваемый момент, и мы можем найти кинетическую энергию части слоя, по которой уже прошел удар:

Отсюда с учетом (11) легко находится плотность распределения тепла в слое:

или, если ввести начальную энергию бойка E0=E(kr) —

Эта формула дает нижнюю границу радиуса воронки, которая образуется при ударе.

и допустим, что на превращение в газ указанной выше части среды затрачивается лишь небольшая часть энергии бойка. Далее предположим, что скорости всех частиц газового облака, образовавшегося в воронке, одинаковы. Величина

,

Теперь легко вычисляется импульс, который получает тело при ударе о него шарика:

. Интересно отметить, что в принятой схеме импульс оказался зависящим от размеров ударяющего шарика.

Можно провести расчет и в другом крайнем случае, когда каждый элемент dr сферического слоя газа разлетается независимо от других элементов и сообщаемый им импульс направлен по нормали к сферической выемке.

Обобщение метода. Наиболее существенным пунктом описанного выше метода решения задачи о пробивании при космических скоростях является использование двух различных моделей среды: до тех пор, пока тепловая энергия процесса меньше некоторой критической величины, среда считается твердой и применяется схема неупругого удара; по достижении этой критической величины среда считается газом. Такое комбинирование различных моделей, выбираемых в соответствии с физическими условиями, может привести к решающему успеху и в других задачах.

Рассмотрим, например, задачи, связанные с воздействием на металлы или пластические среды (такие, как плотная глина) в малые промежутки времени импульсов большой величины. Здесь можно применять следующий метод, который является обобщением описанного в предыдущих пунктах. В качестве начального распределения скоростей деформации среды принимается то распределение, которое имело бы место, если среда являлась бы идеальной жидкостью. Дальнейший расчет ведется в предположении, что области среды, где скорости деформации не превосходят некоторой фиксированной заранее (в зависимости от вязкости) постоянной с, рассматриваются как твердые тела.

Мы получаем такую схему расчетов. Выбирается отрезок времени At и по законам неустановившегося движения идеальной жидкости определяется изменение начального поля скоростей за этот отрезок. В полученном поле скоростей замораживаются (т. е. считаются твердыми телами) те зоны, где скорость деформации оказывается меньшей с; остальная часть среды считается идеальной жидкостью и в следующий отрезок времени. Счет ведется до тех пор, пока не окажется замороженной вся среда.

Этим методом хорошее совпадение с опытными данными можно получить, например, 1) в задаче о крешере: дан свинцовый цилиндр, стоящий на твердой основе; на верхнем его конце подрывается заряд ВВ и требуется выяснить, во что превратится цилиндр после взрыва; 2) в задаче о форме полости, полученной при взрыве заряда эллипсоидальной формы в неограниченном массиве глины.

В Институте гидродинамики Сибирского отделения АН СССР проведен ряд экспериментов, моделирующих падение метеоритов на небесные тела. Производились удары стальной частицей диаметром 1,7 мм по пластинкам из дунита ) различной толщины при скоростях удара v0 от 5 до 10,5 км/сек. Кратеры, образующиеся в результате удара, имеют диаметры в 7—8 раз больше диаметра  частицы-ударника.  При скоростях

км/сек на поверхности кратера остается несколько процентов вещества ударника, с ростом и0 это количество уменьшается.

На рис. 112 показаны фотографии среза пластинок из дунита различной толщины после удара. На них хорошо виден эффект действия ударной волны, прошедшей впереди частицы, — наличие этой волны и учитывают описанные выше схемы.

На рис. 113, а приведен график зависимости отношения глубины пробития L к диаметру частицы-ударника d от скорости удара va для удара стального шара по свинцовой пластинке. В начальном диапазоне скоростей имеется характерный участок немонотонности. Такой же участок немонотонности наблюдался и при ударе стального шара по пластинке из легкого пористого материала — пенопласта с плотностью 0,11 г/см3 (рис. 113,6). Было бы интересно найти объяснение этого явления.