
	Меню сайта

в санкт петербурге флешки оптом с нанесением по демократичным ценам

Предыдущая | Содержание | следующая

Проблемы гидромеханники

Граничные условия

В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число граничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие непроницаемости (V, п) = 0, а в теории вязкой жидкости— три (скалярных) условия

Это — так называемое условие прилипания, оно оправдывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы молекулярного сцепления.

На движущихся твердых границах условие прилипания сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль вектор напряжений:

где п — вектор нормали к поверхности, и кроме того, должно выполняться кинематическое условие, согласно которому нормальная составляющая вектора скорости совпадает со скоростью перемещения поверхности в направлении своей нормали.

Учет вязкости.Уравнение Навье—Стокса значительно сложнее для исследования, чем уравнение - Эйлера, и даже приближенный счет на вычислительных машинах при решении некоторых задач для этого уравнения оказывается затруднительным. С другой стороны, для обычных сред (таких, как воздух или вода) коэффициент вязкости v является малой величиной, и казалось бы, что для таких сред пренебрежение вязким членом (т. е. замена уравнения Навье — Стокса уравнением Эйлера) не должно приводить к существенным ошибкам.

Однако это не так, и причиной тому является различие граничных условий для уравнений Эйлера и Навье— Стокса. Граничное условие непроницаемости в схеме невязкой жидкости приводит к ряду парадоксов — например, к отсутствию сопротивления при движении тела в жидкости,

Но условие прилипания при отбрасывании вязкого члена становится переопределенным, и ему нельзя удовлетворить.

В силу этого условие прилипания фактически приводит к тому, что несмотря на малость v, в тонком слое вблизи границы градиенты скорости оказываются очень большими. Но тогда вязкие члены становятся по величине сравнимыми с остальными членами уравнения (2), и пренебрежение ими уже незаконно. Действие сил вязкости в пограничном слое приводит к отрыву этого слоя

от граничной поверхности и в целом течение становится существенно отличным от того, которое получается в схеме невязкой жидкости.

. Поэтому безвихревое движение вязкой жидкости динамически возможно. Но так как безвихревое движение не может удовлетворять условиям прилипания, то в вязкой жидкости непременно должны образовываться вихри.

Трудности, возникающие при изучении движения вязкой жидкости в точной постановке, заставляют искать более простые математические модели, которые могли бы служить в качестве первого приближения к действительности. Одной из таких моделей является модель, в которой движение в некоторых зонах считается потенциальным, а в других имеет заданную завихренность. В гл. V и IX мы увидим, что этот способ учета вязкости позволяет решить ряд важных задач.

Малая толщина пограничного слоя и большие градиенты скорости в нем послужили основой, на которой Л. Прандтль развил приближенную теорию интегрирования уравнений Навье—Стокса и построил теорию пограничного слоя. Эта теория позволяет рассчитывать течение в пограничном слое и определять касательные напряжения на поверхности тела. Однако она справедлива только до точки отрыва пограничного слоя и не дает возможности, например, вычислить полное сопротивление, испытываемое телом (за исключением случаев, когда отрыва погранслоя не происходит). В настоящее время вообще не существует теории, по которой можно рассчитать сопротивление тела, движущегося в жидкости.

Проблема изучения движения вязкой жидкости существенно осложняется еще одним обстоятельством — при больших значениях безразмерного параметра

называемого числом Рейнольдса (здесь v — характерная величина скорости, а—.характерный размер), движение становится турбулентным. Для описания турбулентных движений не существует полной системы уравнений, и потому в каждой конкретной задаче приходится делать дополнительные предположения, основанные на экспериментах.

Уравнение Гельмгольца. В заключение приведем одну форму уравнения движения вязкой жидкости, в которую явно входит завихренность. Эта форма будет нам нужна в следующих главах.

Применим к обеим частям уравнения Навье—Стокса операцию rot; мы получим уравнение