Меню сайта

Предыдущая     |         Содержание     |    следующая

Проблемы гидромеханники

Гармонические отображения

:

— гармоническая функция от х

мы имеем соотношения

(первое в силу равенства смешанных производных ф, а второе в силу того, что ф удовлетворяет уравнению Лапласа), которые показывают, что функция f = u+iv является антианалитической, т. е. функции и и —v — сопряженные гармонические в обычном смысле.

Легко видеть, что введенное условие (4) сопряженности в пространстве эквивалентно тому, что векторное поле f = (и, v, w) является одновременно потенциальным и соленоидальным:

= 0. Мы доказали, что из (5) следует (4), а обратное доказывается также просто.

Отображения f, удовлетворяющие эквивалентным условиям (4) или (5), мы будем называть гармоническими. Очевидно, что это — отображение области течения жидкости на область изменения вектора скорости, если жидкость идеальная, течение установившееся и в области течения нет ни вихрей, ни источников.

Заметим, что якобиан отображения f

не может внутри области иметь ни минимумов, ни максимумов. Поэтому / всегда меняет ориентацию; чтобы получить отображение, сохраняющее ориентацию, мы должны изменить знак одной из координат, либо переменить их порядок.

Кроме того, в отличие от плоского случая, система (5), определяющая отображение f, переопределена: она содержит четыре уравнения относительно трех неизвестных функций, поэтому естественно ожидать, что теорема Римана на гармонические отображения не распространяется, т. е. не всякую односвязную пространственную область можно гармонически отобразить на другую такую же область. Например, по-видимому, не существует гармонического отображения слоя {0 < z < 1} на шар и2 + v2 + w2 < 1 (доказательства этого утверждения пока нет). Тем не менее области D = {z0(х, у) < < z < z(x, у)} типа слоя, границы которых Г0 и Г удовлетворяют соответствующим условиям, можно гармонически отображать на плоский слой. Справедливо, например, такое утверждение:

достаточно быстро стремятся

к горизонтальным асимптотам, скажем, к z = 0 и z=h, причем первые и вторые производные функций z0 и z достаточно быстро стремятся к нулю, то гармоническое отображение f = (и, v, w) этой области на слой {О < w < Н) существует. Отображение f определяется единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы точка (0, 0, z0(0, 0)) переходила в (0, 0, 0), а оси и соответствовала кривая с асимптотой, параллельной оси х, и задать растяжение в бесконечности вдоль этой кривой.

от двух переменных:

и пользуясь гармоничностью w, мы получаем

для больших х2 + у2 близка к постоянной

где Р — гармоническая во

не может

быть взаимно однозначным в окрестности бесконечности. Поэтому Р = а0 + а1х + b1y + а2ху + Ь2(х2 — if), и следовательно,

Из соответствия точек х — у = 0 и и = v = 0 мы находим a1 = —а(0,0), b1 = —b(0,0), из параллельности оси х прообраза оси заключаем, что а2 = 0, а тогда заданное растяжение этого прообраза в бесконечности позволяет найти b2— отображение f определено единственным образом.

Векторные функции, осуществляющие гармонические отображения, обладают рядом свойств, аналогичных свойствам аналитических функций. Некоторые из них можно найти в книгах А. В. Б и ц а д з е [3] или С. Бергмана [4]. Следует, однако, отметить, что теория таких функций разработана еще очень мало.

Системы из трех уравнений. Рассмотрим произвольное гладкое отображение f = (и, v, w) области D — = {z0{x, у) < z < z(x, у)} типа слоя на слой {0<w<H}. Если якобиан этого отображения не обращается в нуль (что мы и предположим), то его дифференциал

преобразует в единичный куб со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, некоторый параллелепипед (рис. 73).

Будем трактовать / как преобразование некоторого течения в области D в поступательное движение в плоском слое {0 < w < H) в направлении оси и; пусть и будет потенциал скоростей. Геометрически естественно потребовать, чтобы ребро РР параллелепипеда, соответствующее ребру куба, параллельному оси и, было перпендикулярно плоскости его грани, соответствующей грани куба и — const. Это условие выражается двумя уравнениями:

Третье уравнение естественно задать как условие, выражающее режим рассматриваемого течения, в виде

зависимости ребра р = РР параллелепипеда от площади а ортогональной к нему грани:

-, то это условие

также запишется в виде некоторого нелинейного уравнения с частными производными первого порядка.

Особо следует рассмотреть случай, когда уравнение (11) имеет вид а = р2, т. е.

то полученная система из пяти уравнений будет выражать условия конформности отображения f. Полученная система переопределена, и это делает понятной теорему Лиувилля, выражающую тот факт, что класс конформных отображений в пространстве весьма невелик (мы говорили об этой теореме в начале главы).

Представляет большой интерес изучить системы вида (10) — (11) и, в частности, попытаться распространить на них теорему Римана о существовании отображений и другие свойства конформных и квазиконформных отображений плоских областей.