Модельные задачи

Здесь мы рассмотрим несколько вопросов, не связанных непосредственно с определенными гидродинамическими задачами, но относящихся к ситуациям, близким к тем, которые встречаются в пространственных задачах гидродинамики.

Вариационные принципы. В пространственном случае вариационный принцип для течения в слоях в постановке, аналогичной той, которая была дана в плоском случае, оказывается неверным. В самом деле, пусть имеется поступательное движение в слое между двумя горизонтальными плоскостями. Очевидно, что если вставить в поток тонкий нож, плоскость лезвия которого направлена по течению, то ничего не произойдет — все линии тока и скорости останутся неизменными. Ясно, что принцип не сохраняется и в том случае, когда деформации границ производятся в классе гладких поверхностей. Например, в том же

слое продавим нижнюю плоскость вверх так, чтобы образовался гладкий узкий холм, сплюснутый в направлении поступательного потока и симметричный относительно плоскости, направленной по течению (рис. 72,а). Тогда линии тока в плоскости симметрии, как и в плоской задаче, поднимутся и скорости над вершиной холма возрастут. Но некоторые линии тока просто раздвинутся, обходя холм с боков, и скорости на второй плоскости не обязаны всюду возрастать.

Здесь проявляется принципиальное отличие пространственного случая от плоского, которому в нашем примере соответствует продавливание нижней плоскости в форме бесконечного хребта — цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными течению (рис. 72,6). При продавливании такого вида все линии тока поднимутся, входя в сузившийся проход над хребтом, а скорость на второй плоскости всюду возрастет.

мы обозначим такую же область,

где 0<t< 1, соответствен-

но обозначим поверхности уровня u(x,y,z) = ( и й(х, у, z)= t.

В этих обозначениях справедлив (см. М. А. Л а в-р е н т ь е в [6]) следующий

Вариационный принцип. Если область D содержится в D, то:

лежат ниже Гt, 0 < t < 1,

во всех точках Го производная в направлении

— фиксированные постоянные. Пользуясь вариационным принципом и произведя оценки для элементарных гармонических функций, на области этого класса можно распространить принцип затухания локальных вариаций в следующей форме:

от D также невелико. Тогда в любой внутренней точке Р или граничной точке Q области D

где А и В — постоянные, зависящие лишь от k, N и N, d — расстояние точки от места вариации и а — объем, заключенный между границами D и D.

отрезок п = QoQ нормали к Г0, лежащий в D, заключен в пределах Nh, Nh, где N и N— фиксированные постоянные, a h — малая величина. Будем еще считать, что производные функций z0(x,y) и z(x,y) до третьего порядка во всех точках имеют тот же порядок h.

Для таких узких слоев можно дать формулу, обобщающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нормальной производной гармонической в слое функции и, которая на Го принимает значение 0, а на Г равна постоянной Н.

к Г в точке Q;

по степеням 9 коэффициент при первой степени должен обращаться в нуль, а величинами порядка h2 мы пренебрегаем, и следовательно, при нашем подсчете мы можем считать 9 = 0.

Далее без ограничения общности можно считать, что Qo — начало координат и что касательные плоскости в Qo и Q горизонтальны. Тогда в пределах принятой точности можно заменить Го и Г поверхностями уровня гармонического многочлена

первую—уровня 0, вторую — уровня h. Длина нормали n — QoQ определится из уравнения n+ (a+b)n2=h, откуда

. Но тогда

ибо в пределах принятой точности мы можем в средней части этой формулы принять h ~ п.

Остается заметить, что по известным формулам дифференциальной геометрии главные кривизны поверхности Г0 в точке Qo

(мы приняли за Го поверхность Ф = 0), и мы получим окончательно