Элементарные решениия

Отметим несколько простых решений уравнения Лапласа (1), которыми можно пользоваться для локального приближения произвольных решений. Это, прежде всего, большой запас гармонических полиномов: любая константа, любая линейная функция ах + by + cz, полиномы второй степени, которые представляют собой линейные комбинации с произвольными коэффициентами функций

полиномы третьей степени — такие же комбинации функций

и двух других, получаемых из последней круговой заменой х, у и z, и т. д.

Линейными комбинациями гармонических многочленов можно с любой точностью приблизить в произвольной ограниченной области D со связным дополнением любую функцию ф, гармоническую в окрестности D (теорема Рунге).

Наряду с гармоническими полиномами, которые (кроме константы) имеют особенность в бесконечности, можно рассматривать запас функций, правильных в бесконечности: это функция

где q — постоянная и RAP — расстояние от произвольной фиксированной точки А = (а, Ь, с) до точки Р — (х, у, z),

с центром в А, находим

так что величина q характеризует обильность источника.

по прямой направления

называется диполем с осью l и моментом m потенциал диполя равен

а 9 — угол между векторами R = АР и

осью диполя I. Аналогично трактуются и старшие производные функции (3).

Рассмотрим теперь примеры сочетания этих элементарных решений.

Метод источников. В предыдущем параграфе мы рассмотрели течение с осевой симметрией, которое получается, если в поступательный поток в направлении оси х внести источники, расположенные на оси х. Если источники располагаются не на оси поступательного потока, то течение осевой симметрией обладать уже не будет.

направленной вдоль оси х, два источника одинаковой обильности q, расположив их перпендикулярно к этой оси, в точках ±а оси z; мы получим течение с потенциалом

и мы имеем

расстояния точки

(х, у, z) от источников. При z = 0 у нас Vz = 0, следовательно, рассматриваемый поток обтекает плоскость (х, у). В этой плоскости мы получаем векторное поле

которое (как плоское поле) не является ни потенциальным, ни соленоидальным.

Построим еще семейство поверхностей, образованных линиями тока этого течения, которое зависит от параметра h. Такие поверхности z = z(x,y) должны удовлетворять уравнению с частными производными первого порядка

0 < h < а, — некоторая постоянная.

(рис. 71). Эти утверждения основаны на том, что влияние источников сказывается лишь в окрестности начала координат; при удалении в бесконечность их влияние затухает со скоростью

направленной по оси х.

и плотность распределения обильности источника, то формула

  — поверхность из достаточно широкого класса.