Пространственные задачи

Одним из наименее развитых разделов гидро- и аэродинамики является теория течений, обтекающих трехмерные тела. Особенно мало сделано в задачах с частично или полностью неизвестной границей области течения. Причиной этого является недостаточность математических методов решения таких задач вообще и отсутствие пространственного аналога метода годографа в частности.

В этой главе в основном будут изучаться задачи, в том или ином смысле близкие к плоским, и для их решения привлекаться методы, развитые в предыдущих главах для плоских задач. Мы не касаемся других методов решения пространственных задач; с этими методами можно ознакомиться, например, по обзору в [8]. Начнем с класса пространственных движений, простота изучения которого определяется тем, что для его описания, как и в плоском случае, можно ограничиться двумя функциями двух действительных переменных.

Движения с осевой симметрией

Об уравнениях, связывающих потенциал ср и функцию тока -ф для установившихся движений с осевой симметрией идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии источников и стоков, мы уже говорили в гл. I. Они имеют вид

где х — координата вдоль оси симметрии, г — расстояние до этой оси. Здесь мы остановимся на том, как на такие движения переносятся решения гидродинамических задач, уже разобранных в плоских постановках.

для функций, не зависящих от угла 0, записывается в виде

уже не является гармонической, а удовлетворяет уравнению

а зависящей толь-

(а и Ь — по-

сопряженные функции, мы получим аналоги степеней (x+iy)n комплексного переменного — простейшие векторные функции, удовлетворяющие системе (1). Выпишем пять первых таких степеней (не считая тривиальной Z°= 1):

—максимальную степень полинома). В курсах уравнений с частными производными доказывается, что любое решение системы (1) представляется (в некоторой окрестности произвольной точки) в виде ряда

где Z = х -f- ir, Zh — степени (4) и as — действительные постоянные.

. Остальные отрицательные степени получаются дифференцированием этих по х. Так мы находим

Любое решение системы (1), правильное в бесконечности, представляется в окрестности бесконечности рядом по этим степеням.

по формулам

как и

не кон-

формно — оно преобразует бесконечно малые квадраты в прямоугольники.

положительность которого определяет эллиптичность системы, в нашем случае равен r2, поэтому система (1) является сильно эллиптической лишь в областях, не примыкающих к оси вращения r = 0; на этой оси система вырождается.

удовлетворяющие системе (1) или, как мы еще будем говорить, квазиконформные отображения по системе (1) — обладают основными свойствами конформных отображений. Поэтому решения задач с осевой симметрией, как правило, несущественно отличаются от решений соответствующих плоских задач.

этот вектор равен

Все векторы поля направлены к началу координат, а величина вектора убывает обратно пропорционально квадрату расстояния R до начала, следовательно, это — поле точечного источника, расположенного в начале (точнее — стока).

оси х, получим осесимметричное движение с комплекспым потснц.иалом

, называется

точечным диполем с моментом, направленным вдоль

оси х. Как видно из (9), комплексный потенциал поля такого диполя

трактуются как комплекс-ные потенциалы полей мультиполей, которые получаюг-ся слиянием диполей (квадруполей), слиянием квадру-полей и т. д.

Комбинируя элементарные решения системы (1), можно получать примеры движений с осевой симмет-рией. Рассмотрим, например, течение с комплексным потенциалом

определяются по форму-лам (4) и (6), а а

очевидно, равна 2а.

Если в этом примере заменить точечный диполь системой источников интенсивностеи ±q, расположенных в точках ±а оси х, то получим течение с комплексным потенциалом

в бесконечности, направленной вдоль этой оси. На рис. 70 изображены линии тока в любом меридианном сечении.

Пример можно обобщить, если считать, что

источники размещены на произвольном множестве Е оси х (ограниченном хотя бы слева) с переменной плотностью распределения интенсивностеи. Комплексный потенциал такого течения задается формулой

очевидно, необходимо и достаточно потребовать равенство нулю суммарной обильности источников:

определена формулой (13), распадается на r — 0 и уравнение профиля обтекаемого тела вращения. Очевидно, что это тело содержит множество E.