Задача о склейке

граница кото-

рой состоит из заданного отрезка [—а,а] оси х и опирающейся на этот отрезок (неизвестной) дуги у, так,

и подбирать величину отрезка [ —а, а].

раз, а завихренность в раз.

;  эта функция должна удовлетворять

Нам нужно найти решение, которое: 1) имеет непрерывные частные производные всюду в D, 2) имеет

Решение, удовлетворяющее первым трем условиям, легко выписывается:

то оно имеет вид

  легко вычисляется в элементарных функциях, и поэтому двойное интегрирование здесь можно заменить простым.

для данного решения у(х):

. Однако доказательство существования и единственности и устойчивости решения получить пока не удалось. Более того, имеются варианты задачи, для которых при машинном счете обнаружено несколько решений (см. ниже пункт о течении в траншее).

и на оси х).

зависящих лишь от у, а в этом классе задача становится совсем простой. Пусть у будет прямая у = h; тогда уравнение (3) заменится обыкновенным дифференциальным уравнением

при у — h с предыдущим решением. Так мы находим

откуда определяется единственное положительное значение

должно зависеть лишь от у, и тем самым

доказана единственность построенного решения.

Все сказанное здесь распространяется на более общий случай, когда D — произвольная область типа полуплоскости, ограниченная кривой Г, гладкой всюду, кроме, быть может, точек z = — а, z = а, в которых допускаются углы. Этот случай приводится к рассмотренному при помощи конформного отображения области на верхнюю полуплоскость. В такую более общую схему укладывается ряд задач, важных для приложений (см. работы М. А. Гольдштика [14], А. Б. Шабата [12], [13], П. И. Плотникова [15]).