Задачи со свободными границами

Сюда относится большой круг классических задач, в которых ищется движение идеальной жидкости или идеального газа в областях с частично известными границами. Неизвестную часть границы в этих задачах нужно определить из каких-либо дополнительных условий. Простейшим из таких условий является постоянство на неизвестной части границы величины скорости (задача Кирхгофа). Другое важное условие выступает в задачах о волновых движениях тяжелой несжимаемой жидкости: условие постоянства давления на волновую поверхность согласно интегралу Бернулли (см. § 1) приводит на искомой части границы у = у(х) к условию

где g — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости, К — величина скорости и А — некоторая постоянная.

Задача Кирхгофа. Начнем с простейшей задачи о течениях идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в условиях, когда силой тяготения можно пренебречь, движение плоско параллельно и давление над свободной поверхностью постоянно. Из интеграла Бернулли тогда следует, что на свободной поверхности постоянна величина скорости V, и математически задача ставится следующим образом.

Задана кривая Го: у = Уо(х) —дно водоема, причем предполагается, что функция Уо{х) непрерывна и ограничена вместе с двумя производными на всей оси х; задан также расход h. Требуется найти свободную поверхность, т. е. кривую

так, чтобы на ней величина скорости течения была заданной постоянной величиной.

и можно рассматривать величину

которая при фиксированной постоянной С вполне определяется кривой Г.

Таким образом, каждой кривой Г из некоторого множества ставится в соответствие число I(Г), причем близким кривым (с учетом значений функций у (х) и их первых двух производных) соответствуют близкие значения I. В таких случаях говорят, что на рассматриваемом множестве кривых задан непрерывный функционал. Далее, нужно сузить множество допустимых кривых до компактного множества, т. е. такого, что из любой последовательности принадлежащих ему кривых можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой кривой из того же множества (в смысле близости с учетом значений функций и их первых двух производных). Для этого нужно задать постоянные в следующих неравенствах:

— всюду меньше С.

В остальных неравенствах мы считаем М и N достаточно большими.

Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, на таком множестве непрерывный функционал I (Г) достигает своего наименьшего значения. Пользуясь вариационным принципом для конформных отображений полос, можно доказать, что если бы полученное наименьшее значение было отличным от нуля, то оставаясь в классе допустимых кривых, можно было бы проварьировать Г так, чтобы величина I (Г) уменьшилась. Отсюда следует, что I(Г) = 0, т. е. что построенная кривая — искомая. Из того же вариационного принципа можно заключить, что кривая Г, которая дает решение задачи, определяется единственным образом. Подробнее об этом методе см. М. А. Лаврентьев [2].

Аналитическое решение задачи можно получить, если воспользоваться выражением для растяжения конформного отображения на полосу области типа полосы, которое приводилось в гл. III. Этот путь приводит к интегральному уравнению, из которого можно найти искомую функцию у = у{х). При дополнительных ограничениях на форму дна задачу можно решить и для случая сжимаемой жидкости.