Качественные модели сверхзвуковых течений

Сверхзвуковым течениям посвящено большое количество работ как теоретического, так и прикладного характера, в которых решено много важных задач; особенно плодотворным оказалось применение электронных вычислительных машин. Тем. не менее многие явления, связанные с движениями со скоростями выше звуковой, остались неисследованными. Особенно мало изучены движения, у которых в одних зонах — скорости дозвуковые, а в других — сверхзвуковые. Здесь мы рассмотрим несколько значительно более простых для исследования моделей систем уравнений с частными производными, на которых видны некоторые явления, присущие уравнениям газовой динамики в сверхзвуковом и переходном режимах.

Гиперболические конформные отображения

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с h-конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши — Римана, h-конформпые отображения связаны с простейшей гиперболической системой

Условия отобразимости. Под h-конформными отображениями мы будем понимать взаимно однозначные отображения f — и + iv, удовлетворяющие системе (1). Как мы видели в гл. II, такие отображения допускают представление вида

— произвольные гладкие функции одного переменного. Якобиан таких отображений

= = const — характеристиках системы (1). В отличие от

системы Коши — Римана якобиан решений системы (1) может менять знак на характеристиках, и тогда эти характеристики будут линиями ветвления — картина качественно отличается от аналитических функций, которые могут иметь лишь точки ветвления.

Теорема Римана о существовании конформных отображений на h-конформные отображения не распространяется. Дело в том, что, как видно из формул (2), h-конформные отображения переводят характеристики системы (1) снова в характеристики:

= const.

. Поэтому, например, нельзя /г-конформно отобразить круг на полуплоскость, ибо граница круга переходит из одной пары характеристических секторов в другую, а граница полуплоскости все время остается в одной паре секторов.