Пристрелочный метод

на прямо-

Мы видим, что эта

задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа

которому удовлетворяет функция v. Уравнение Лапласа— эллиптического типа, и задача Дирихле является для него корректной граничной задачей (ее решение существует, единственно и устойчиво, т. е. непрерывно изменяется при изменении граничных данных).

Мы опишем другой метод решения задачи об отображении, который основан на решении не задачи Дирихле, а задачи Коши для уравнения Лапласа, в которой на оси х задаются значения не только функции v, но и

. Хотя эта задача является некорректной (она корректна для уравнений гиперболического типа, например, уравнения колебаний струны

,  все же метод, на  ней основанный, оказывается полезным для приложений.

Для описания метода заметим, что в силу условий

или обратной к нему величины — характеристики р. Напомним еще, что в случае конформных отображений характеристики р и а связаны соотношениями

(см. производную систему (14)). Будем также считать, что полоса D асимптотически близка к единичной,

, и покроем ось х отрезками

близкую к прямой у = h.

и наклонены к оси х под

где

при больших х близкую к прямой

будем делать пропорционально отклонению верхней стороны квадрата от линии Г.

), по которой можно снова ввести поправки к распределению характеристик pk и т. д. Можно организовать процесс так, чтобы верхние квадраты с данным номером k были попеременно то выше, то ниже линии Г, поэтому метод и называется пристрелочным. При плавных границах Г за несколько приемов можно получить достаточно хорошее приближение к искомому конформному отображению (см. рис. 34).

  Число р0 не задается, а должно

  соответствующую точке w = 1.

боковые стороны ортогональны к Г, а внутренние основания подсчитываются при помощи разностных аналогов системы

которая представляет собой запись производной системы (12) в полярных координатах (р, 0) на плоскости w.

(при этом можно также уменьшать шаг /г), строим новую сеть и т. д. При достаточно большом я, повторяя процесс достаточное число раз, можно получить хорошее приближение искомого конформного отображения.

сглаживающая внутренние основания квадратов, близка к окружности малого радиуса с центром в точке z0.

Важным достоинством метода пристрелки является его универсальность. С небольшими изменениями его можно применять для приближенного решения пространственных задач гидродинамики с осевой симметрией, вихревых задач, а также плоских и с осевой симметрией задач газовой динамики.

а система (14) заменяется более общей системой (14) из предыдущего параграфа.