Интегрирование

(а и b—

кривой y произ-

и взять предел суммы

стремятся к нулю.

Легко видеть, что если / = и + iv, то этот интеграл выражается через криволинейные интегралы от действительных функций:

Как доказывается в анализе, эти интегралы существуют, если кривая у — кусочно гладкая, а функция f непрерывна на ней.

от функции, непрерывно дифференцируемых в одно-связной области D, не зависит от вида кривой у и полностью определяется ее концами в том и только том случае, когда подынтегральное выражение является точным дифференциалом, т. е. всюду в D удовлетворяется условие

, т. е. совпадает со вто-

и совпадает с первым условием аналитичности.

Таким образом, справедлива следующая основополагающая теорема Коши: если функция f аналитична в односвязной области D, то интеграл от f по любой кривой у, лежащей в D, зависит лишь от концов, но не от вида у, или, что эквивалентно, интеграл от f по любому замкнутому контуру у, лежащему в D, равен нулю:

Заметим, что это свойство также характеризует аналитические функции: если некоторая функция / непрерывна в области D и ее интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен 0, то f аналитична в D.

Непосредственным следствием теоремы Коши является возможность построения для аналитических функций понятия первообразной. В самом деле, если функция f аналитична в односвязной области D то по теореме Коши в D определена функция

где а — произвольная фиксированная точка D (интеграл не зависит от пути, поэтому мы не указываем кривой, по которой он берется). По элементарным

свойствам интегралов, которые вытекают прямо из определения (6), имеем

Мы видим, что функция (9) оказалась аналитической в области D и что ее производная равна подынтегральной функции. Функция F и называется первообразной функции f.

Доказывается, что две первообразные одной и той же функции в одной и той же области могут отличаться лишь постоянным слагаемым, а отсюда обычным образом вытекает формула Ньютона — Лейбница, выражающая интеграл через первообразную: