Три типа комплексных чисел

Таким образом, если мы определим произведение двух векторов по формуле (1), то в зависимости от расположения точки /2=а-И|3 на плоскости мы получим три типа алгебраических систем.

(I) i2 лежит внутри параболы (х<0). Система об- разует алгебраическое поле, обратный элемент суще- ствует у любого элемента, отличного от нуля, и следо- вательно, допустимо деление на любой отличный от нуля вектор. Такие системы векторов мы будем называть эллиптическими комплексными числами. Простейшей из них является обычная система комплексных чисел, для которой i2 = —1 (т. е. а = —1, р = 0) и которую мы будем называть канонической. Можно показать, что лю- бая эллиптическая система алгебраически изоморфна канонической системе (т. е. между этими системами су- ществует взаимно однозначное соответствие, которое сумму векторов переводит в сумму, а произведение — в произведение).

и делители нуля располагаются на оси у.

(III) i2 лежит вне параболы (х>0), системы называются гиперболическими комплексными числами. В каждой из них есть делители нуля, располагающиеся

Модуль и аргумент. Начнем с обычной (т. е. простейшей эллиптической) системы комплексных чисел. Наряду с представлением z = x--iy комплексного числа в декартовых координатах мы можем рассматривать его представление в полярных координатах

Полярные координаты комплексного числа удобны для выполнения действий умножения и деления. Нетрудно показать, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:

аналогично

не равны нулю).

у которого модуль равен z, а ар-

Тогда произведение

), для гиперболических — гипербола  (в  каноническом  случае равнобочная:

х2 — у2—), а для параболических — пара параллельных (в каноническом случае слившихся) прямых.

(значение ср определяется однозначно), и получаем вместо (4)

тогда вместо (8) будем иметь z —

Покажем еще, как в канонических системах выполнить деление, если пользоваться декартовыми координатами:

а в

не является делителем нуля).

Многомерный случай

Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, согласно которой система эллиптических комплексных чисел является единственным (с точностью до изоморфизма)  расширением поля действительных чисел с сохранением всех законов сложения и умножения. Если отказаться от переместительного закона, то появится еще одна возможность — четырехмерные векторы (система кватернионов), а если пожертвовать и сочетательным, то еще одна — восьмимерные векторы (октавы Кели). Других возможностей построить умножение векторов, хорошо сочетающееся со сложением, нет. В частности, нельзя построить и хорошей алгебраической системы для трехмерных векторов, и это обстоятельство сильно затрудняет решение пространственных задач гидродинамики.