Математические модели жидкой среды

Напомним некоторые основные понятия динамики непрерывной среды. Движение среды, заполняющей некоторый объем, считается заданным, если в любой момент времени t можно определить (т. е. вычислить с любой заданной точностью) поле скоростей частиц среды V(x,t) в любой точке х объема. В ряде случаев это общее определение нуждается в некоторых уточнениях. Границы области, занятой движущейся средой, могут меняться со временем; они могут быть неизвестны заранее и должны определяться вместе с полем скоростей по некоторым условиям; границы могут появляться в процессе движения, когда, например, внутри среды образуются каверны или возникают ударные волны.

Кроме поля скоростей должны, вообще говоря, определяться также и другие величины, характеризующие состояние среды: плотность p{x,t), давление P(x,t), температура T(x,t) и т. д., в зависимости от конкретной задачи.

Для математического описания движения сплошной среды необходимо создать подходящую математическую модель явления. При этом, как правило, учитывают только самые необходимые свойства среды и пренебрегают остальными, ибо чем шире постановка, тем труднее построить математическую модель, поддающуюся изучению, тем меньше получается конкретных результатов и тем труднее сопоставить теорию с экспериментом. Правильный выбор модели часто обеспечивает успех решения задачи,

Несжимаемая невязкая жидкость

Основные уравнения. В некоторых вопросах сжимаемость среды оказывается несущественной, и ею можно пренебречь. В этом случае движение невязкой жидкости в отсутствии внешних сил описывается следующими уравнениями Эйлера:

Первое из этих уравнений представляет собой математическую запись условия несжимаемости, а второе является собственно уравнением движения: в левой его

движущихся частиц, а

и внешние (F).

Система (1) — (2) уравнений с частными производными имеет еще весьма общий характер, и в силу этого ее применения ограничиваются сравнительно узким кругом задач гидродинамики. Более содержательные приложения мы получим, если наложим на рассматриваемые движения некоторые дополнительные условия. Перечислим несколько таких условий.

Потенциальность. Предположим, что жидкость находится в потенциальном силовом поле, т. е. действующие на нее внешние силы F имеют потенциал U:

Из этого следует, что если движение возникает из состояния покоя, то циркуляция по произвольному замкнутому жидкому контуру тождественно равна нулю. Отсюда в силу формулы Стокса, по которой

где S — поверхность, натянутая на контур I, и в силу произвольности поверхности 5 можно заключить, что во все время движения

называется завихренностью и оп-

ределяет угловую скорость вращения элементарного объема жидкости. Уравнение (4) есть, таким образом, условие отсутствия вращения.

Как известно, (4) представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности поля скоростей), т. е. существования скалярной функции ц>(х, /) — потенциала скоростей, такой, что

(здесь, как ив (3), градиент берется только по пространственным координатам х).

Условие потенциальности приводит к значительным упрощениям. Прежде всего, из (5) видно, что скорость вполне определяется потенциалом, так что вместо векторной искомой функции V нам достаточно найти скалярную ф. Далее, подставляя (5) в (1), мы видим, что Ф по пространственным переменным удовлетворяет уравнению Лапласа:

т. е. является гармонической функцией. Свойства гармонических функций хорошо изучены и широко используются в гидродинамике.

Роль уравнения (2) сводится теперь к определению зависимости функции ф от времени и определению давления Р. Но условие потенциальности позволяет упростить и это уравнение. В самом деле, пользуясь известной из векторного анализа формулой

=0), где v = V —величина вектора скорости, а также формулами (3) и (5), мы можем записать уравнение (2) в виде

Отсюда получается так называемый интеграл Коши — Лагранжа:

где Ф —некоторая функция времени; он заменяет уравнение движения (2).

Установившиеся движения. Однако и упрощения, обусловленные предположением о потенциальности, оказываются еще недостаточными, особенно если нужно получить не только качественные, но и количественные результаты. Дальнейшее упрощение мы получим, если предположим, что движение установившееся, т. е. что поле скоростей не зависит от времени. Тогда уравнение Лапласа (6) полностью описывает скорости, а соотношение (8) примет вид

в котором оно называется интегралом Бернулли.

Таким образом, задача полностью свелась к отысканию той гармонической функции, которая соответствует условиям задачи. Интеграл Бернулли является теперь конечным (а не дифференциальным) соотношением, которое связывает величину скорости с давлением; потенциал U внешнего поля сил в обычных задачах известен.

Плоское движение. И все же запас гармонических функций столь велик, что отыскание той из них, которая отвечает условиям задачи, обычно бывает затруднительным. Поэтому лишь очень немногие пространственные задачи гидродинамики удается решить до конца.

Значительно легче решаются плоские задачи, к которым приходят, делая дополнительное предположение о том, что поле скоростей плоскопараллельно.

и Vy соответственно компоненты вектора скорости V по осям х и у. Тогда условия несжимаемости и потенциальности, т. е. уравнения (1) и (4), примут вид

Потенциал скоростей ф будет гармонической функцией двух переменных, т. е. будет удовлетворять двумерному уравнению Лапласа

и компоненты скорости будут выражаться через него так:

так что

как и Ф, является гармонической функцией, а сравнение (12) и (13) показывает, что эти функции связаны соотношениями

Функции, связанные такими соотношениями, называются сопряженными гармоническими1).

Существенные упрощения, вносимые предположением о том, что движение-—плоское, объясняются следующими двумя обстоятельствами: 1) функция тока, в терминах которой формулируются многие задачи, естественно вводится в плоском случае, а в пространственном ее введение затруднительно; 2) потенциал и функция тока в плоских задачах образуют в совокупности аналитическую функцию2), а теория таких функций очень хорошо развита как с качественной, так и с количественной стороны.

Применение схемы плоского движения далеко не ограничивается плоскопараллельными полями скоростей — она применяется для приближенного описания существенно более общих ситуаций. Например, ей можно пользоваться при изучении обтекании крыла самолета на значительной части его длины (теория крыла бесконечного размаха), лишь у концов крыла эта схема перестает действовать и нуждается в уточнениях.